. Неправильно ні з погляду математики, ні з погляду логіки ототожнювати відстань від точки до променя (чи відрізка) з відстанню від точки до прямої, якій належать промінь чи відрізок. (Таке розуміння відстані приводить до неправильних формулювань теорем і логічно неправильних доведень).
Тепер школи поступово переходять на нові підручники геометрії. Використовуються підручники таких авторських колективів.
· Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.;
· Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г.;
· Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.;
· Апостолова Г. В.;
· Єршова А.П., Голобородько В.В. та ін.;
· Істер О.С.
Вони різні, але логічні основи усіх істотно відрізняються від логічних основ підручників О.В.Погорєлова і А.М. Колмогорова та ін. Жоден з цих підручників не будується на аксіоматичній основі. Це добре, оскільки практика останніх десятиліть переконливо показала, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві.
РОЗДІЛ II
. ОГЛЯД РІЗНИХ ПІДХОДІВ ДО АКСІОМАТИЧНОЇ ПОБУДОВИ ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ
2.1 Короткий історичний огляд розвитку аксіоматичного
методу
Починаючи з III ст. до н.е. протягом двох тисяч років зразком викладу геометричного матеріалу були «Початки» Евкліда, зміст яких брався за основу написання підручників з геометрії для різних навчальних закладів.
Перший у Росії підручник під назвою «Генеральна геометрія» був виданий у 1765 р. Н.Г. Курчановим, учнем Л.Ф. Магницького. Цей підручник складався з трьох розділів: лонгіметрія, в якому розглядались суміжні та вертикальні кути, ознаки паралельності прямих та ін.; планіметрії і стереометрії.
Дещо пізніше російські педагоги Е.М. Головін, С.Е. Гур'єв, Т.Д. Осиповський, Ф.І. Буссе видали ряд підручників з геометрії для гімназій, реальних училищ та інших середніх навчальних закладів. Ці підручники вже складались з двох традиційних розділів - планіметрії і стереометрії. Особливо популярним був підручник «Елементарна геометрія в обсязі гімназичного курсу» професора Московського університету А.Ю.Давидова, цей підручник багаторазово видавався з 1864 р. по 1922 р.
Заслуженою популярністю користувався підручник з геометрії для середньої школи А.П. Кисельова, виданий вперше в кінці XIX ст. Тривалий час в школах України геометрію вивчали за цим підручником. У вступі до планіметрії були сформульовані основні властивості площини і прямої. Тут же наведені три аксіоми з «Початків» Евкліда. Доведення планіметричних тверджень проводилось далі без посилання на ці аксіоми (в основному використовувався метод накладання). У стереометрії А.П. Кисельова сформульовані три властивості площини, названі теж аксіомами, які частково використовувались при доведенні теорем. Про яку-небудь систему аксіом, аксіоматичний методу підручнику А.П. Кисельова не йдеться.
Суть аксіоматичного методу побудови геометрії, короткий зміст «Початків» Евкліда і систему аксіом Д.Гільберта викладено в додатках «Про аксіоми геометрії» професора Н.Д. Глаголєва до стереометрії А.П. Кисельова. У 70-ті роки минулого століття в школах України (як і в інших республіках СРСР) планіметрія вивчалась за навчальним посібником, створеним авторським колективом під керівництвом академіка А.М. Колмогорова (А.М. Колмогоров, О.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Геометрія: Навчальний посібник для 6-8 класів середньої школи. - К.: Рад. школа, 1973). У першому розділі - «Початкові поняття геометрії» - введені основні (без означення) поняття стереометрії: точка, пряма, площина, відстань між двома точками. Потім сформульовані три основні властивості відстані, на основі яких доведено твердження про те, що для будь-яких трьох точок А, В і С відстань АС більша або дорівнює різниці відстаней АВ і ВС. У цьому ж пункті введене поняття аксіоми, сформульована аксіома прямої, на основі якої доведена теорема про те, що дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки. Далі формулюються твердження, одні з яких не доводяться, інші доводяться, але термін «аксіома» не вживається. Отже, системи аксіом, на якій би будувалась планіметрія, у ході викладення матеріалу не сформульовано, аксіоматичний метод не реалізовано.
У додатках «Про логічну побудову геометрії» з'ясовано суть логічної будови геометрії та запропонована одна із можливих систем аксіом, відповідна системі викладу геометричного матеріалу в даному посібнику. Ця система аксіом складається з дванадцяти аксіом, поділених на п'ять груп:
) аксіоми належності (3);
) аксіоми відстані (3);
) аксіоми порядку (4);
) аксіома рухомості (1);
) аксіома паралельних (1).
У 80-ті роки минулого століття з'явилося декілька спроб побудувати шкільний курс геометрії на аксіоматичній основі. Це навчальний посібник О.В. Погорєлова, авторського колективу, очолюваного О.Д. Александровим, посібник Л.С. Атанасяна та ін.
Відомо, що за основу планіметрії
можна взяти різні системи аксіом, тому і побудова планіметрії може бути
здійснене різними шляхами. Але, незважаючи на різні підходи до побудови
планіметрії, в ній вивчають одні й ті ж геометричні фігури і дістають одні й ті
ж їх властивості, виражені в аксіомах і теоремах: це теорема Шфагора, теореми
про суму кутів трикутника, про площу трикутників і многокутників, ознаки
рівності трикутників, операції над векторами і т.д.
2.2 Система
аксіом О.Д. Александрова
Спроба аксіоматичної побудови курсу геометрії для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики здійснена авторським колективом під керівництвом академіка О.Д. Александрова у навчальних посібниках з геометрії для 8-9 і 10-11 класів. Формулювання аксіом у цих посібниках передбачає, що учням відома арифметика дійсних чисел і поняття додатної величини.
Основні об'єкти планіметрії: точка і пряма.
Основні відношення: належність (для точки і прямої), лежати між (для трьох точок, які лежать на одній прямій).
Система аксіом розбита на п’ять груп.
I група: Аксіоми належності
1.1. Через кожні дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.
1.2. На кожній прямій існує принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, які не лежать на одній прямій.
II група: Аксіоми порядку
.1. Із кожних трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
2.2. Кожна пряма розбиває площину на дві півплощини. Перед формулюванням аксіоми 2.2 вводиться поняття відрізка і півплощини, а після неї - поняття променя.
III група. Аксіоми відстані
3.1. Кожним двом точкам ставиться у відповідність додатна величина, яка називається відстанню між цими точками.
Вводиться позначення відстані між точками А і В: |АВ| або |ВА|
3.2. Для будь-якої відстані г на заданому промені з початком О існує точка А, для якої |ОА| = г.
Цю аксіому ще називають аксіомою відкладання відрізка.
3.3. Якщо точка В лежить між точками А і С, то |АВ| + |ВС| = |АС| (аксіома адитивності довжини відрізка).
3.4. Для будь-яких трьох точок А, В, С має місце нерівність |АВ| + |ВС| > |АС|.
Далі вводиться поняття руху як відображення, при якому зберігаються відстані.
IV група. Аксіоми рухомості
.1. Нехай промінь 1 з початком у точці О лежить на межі півплощини а, а промінь 1' з початком у точці О' лежить на межі півплощини а'. Тоді існує такий рух, який переводить точку О в. (У, промінь / в Р і швплощину а в а'.
V група. Аксіоми паралельності Евкліда
.1. Для кожної прямої а і кожної точки А, яка не лежить на прямій а, існує не більше однієї прямої, що проходить через точку А і не перетинає прямої а.
Переходячи до стереометрії, зазначимо, що поняття площини в даній системі аксіом не є неозначуваним.
Означення. Площиною називається фігура, на якій виконується планіметрія і для якої справджуються аксіоми стереометрії.
Аксіоми стереометрії
Аксіома 1 (аксіома площини). У просторі існують площини. Через кожні три точки простору проходить площина. З цієї аксіоми випливає, що в просторі існує більше однієї площини.
Аксіома 2 (аксіома перетину площин). Якщо дві площини мають спільну точку, то їх перетином є їх спільна пряма.
Аксіома 3 (аксіома належності прямої площині). Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона лежить у цій площині.
Перед формулюванням наступної аксіоми вводиться поняття півплощини.
Аксіома 5 (аксіома відстані). Відстань між будь-якими двома точками простору не залежить від того, на якій площині, що містить точки, вона виміряна.
Після того як вибрано одиничний відрізок, довжина кожного відрізка виражається додатним числом.
Аксіома відстані надає можливість порівнювати фігури на різних площинах, зокрема застосувавши теореми про рівність і подібність трикутників, розміщених у різних площинах.
Зазначимо, що знову є лише вказівка
на те, що планіметрію можна побудувати аксіоматичне на основі перелічених
аксіом, але фактично це не реалізовано.
2.3 Система
аксіом О.В. Погорєлова
У 1982-1983 навчальному році у школах України (та інших республік СРСР), починаючи з 6 класу, геометрію стали вивчати за навчальним посібником академіка О.В. Погорєлова. Основний зміст цього посібника був опублікований у 1972 році в книзі «Елементарная геометрия» [5], яка подавалась на конкурс шкільного підручника з геометрії. В результаті експерименту з викладання геометрії за посібником О.В. Погорєлова у школах Харківської області, міст Києва і Севастополя цей посібник удосконалювався (1977-1982 рр.), і варіант «Геометрія 6-10» з 1982 р. Міністерством освіти СРСР і Міністерством освіти УРСР рекомендований у практику викладання геометрії в середній школі як основний навчальний посібник.
Основне завдання у викладанні геометрії автор нового посібника визначив так: «Пропонуючи цей курс, ми виходили з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учнів логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, що закінчать школу, будуть математиками, тим більше геометрами. Будуть і такі, що у своїй практичній діяльності жодного разу не використають теорему Шфагора. Проте навряд чи знайдеться хоч би один, якому не доведеться міркувати, аналізувати, доводити».
Можна виділити такі науково-педагогічні особливості цього посібника:
1) традиційний зміст і аксіоматична побудова;
2) економний виклад матеріалу і організуюча роль запитань для повторення;
3) єдність теорії і практики.
Відносно традиційного змісту О.В. Погорєлов зауважив: «Увесь багатовіковий досвід викладання елементарної геометрії з часів Евкліда доводить раціональність традиційної системи. Удосконалення її, пов'язане із загальним розвитком науки, не повинне стосуватися її розумних і глибоко продуманих основ» [5, с. 7].
Дедуктивна побудова геометрії визначається її аксіоматикою. Взагалі не слід змішувати аксіоматичну побудову шкільного курсу геометрії з аксіоматичною побудовою геометрії як науки. Спроби авторів ототожнювати їх при написанні шкільних підручників приводили до невдач. Тому досить популярна система аксіом Гільберта для побудови шкільної геометрії не підходить. Для дедуктивної побудови шкільного курсу геометрії необхідно мати просту, природну, зрозумілу для учнів систему аксіом. Цим вимогам найбільше відповідає система аксіом О.В. Погорєлова. В його посібнику здійснено систематизований виклад геометричного матеріалу на базі оригінальної і економної системи аксіом. При цьому аксіоматичний виклад ведеться від початку курсу. Автор вважає, що з педагогічної точки зору необхідно як можна раніше виховати в учнів мотивовану потребу аргументувати свої міркування, доводити нові твердження.
Курс геометрії в підручнику О.В. Погорєлова «Геометрія 7-11» [7] побудовано строго дедуктивно: усі аксіоми у вигляді основних властивостей найпростіших геометричних фігур сформульовані в першому параграфі. По суті, у цьому параграфі закладені основи курсу геометрії.
Основними поняттями є точка, пряма, площина, належати для точок і прямих, лежати між для точок на прямій міра (довжина відрізка, градусна міра кута).
Формулювання аксіом планіметрії і їх кількість у різних виданнях навчального посібника дещо змінювались, уточнювались. Наведемо їх формулювання за підручником [7]. Система аксіом (за цим підручником) складається з дев'яти аксіом планіметрії і трьох аксіом стереометрії. З методичних міркувань і для зручності викладу матеріалу аксіоми стереометрії сформульовані на початку стереометрії (§ 15). У підручнику [7] аксіоми не розбиті на групи, а мають порядкові номери.
I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну
III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
V. Пряма розбиває площину на дві півплощини.. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.. Від будь-якої півпрямої в дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.
IX. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.
X. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.
Аксіоми стереометрії
А1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.
А2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
А3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.
Звертаємо увагу на те, що у формулюванні аксіом І-ІХ відсутнє слово площина, оскільки вони формулювались у планіметрії, де всі об'єкти геометрії розміщені в одній площині.
У стереометрії нескінченно багато площин, тому при формулюванні аксіом І-IX в стереометрії необхідно в кожній з них підкреслювати, що названі об'єкти лежать в одній площині.
Наприклад, аксіома IV матиме в просторі таке уточнене формулювання:. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
Такі уточнення стосуються і аксіом VII, VIII, IX при їх формулюванні в стереометрії.
У міру потреби перед формулюванням аксіом вводяться означувані поняття: відрізок, промінь (півпряма), кут, розгорнутий кут, трикутник, рівні відрізки, рівні кути, рівні трикутники, паралельні прямі та ін.
Відзначимо деякі особливості формулювання аксіом, означень і доведення теорем.
. У багатьох підручниках з планіметрії для середньої школи період введення системи аксіом розтягувався до закінчення вивчення планіметрії. Пропонувалось спочатку вивчати геометрію на рівні наочних уявлень та інтуїтивно зрозумілих висновків без логічного їх обгрунтування, накопичуючи певні суттєві геометричні відомості, а після завершення вивчення планіметрії перейти до аксіоматичного викладу матеріалу, тобто спочатку основний зміст планіметрії вивчався емпірично. Але при цьому не виконувалось основне завдання - не формувалось наукове, дедуктивне мислення учнів.
На відміну від такого погляду на побудову і вивчення систематичного курсу геометрії, починаючи з планіметрії, у підручнику О.В. Погорєлова враховуються вікові можливості учнів 7-9 класів і використання наочних та інтуїтивних прийомів поєднується зі строго науковим, дедуктивним викладом (і вивченням) геометричного матеріалу уже з перших уроків геометрії в 7 класі. При цьому ставиться завдання не заучування аксіоматичних доведень, а поступового оволодіння ними; а також завдання доведення всіх тверджень, які не входять у число основних властивостей найпростіших геометричних фігур. Саме з урахуванням цього спочатку не вживається поняття аксіоми, воно замінене більш зрозумілим поняттям «основні властивості», які емпірично відомі учням з програми математики 1-6 класів. Лише в кінці § 1 (п. 13) читаємо: «Твердження, які міcтять формулювання основних властивостей найпростіших фігур, не доводяться і називаються аксіомами. Слово «аксіома» походить від грецького слова «аксіом» і означає «твердження, що не викликає сумнівів».