Міністерство освіти і науки України
Кафедра
алгебри та геометрії
Курсова робота
з геометрії на тему:
«Аксіоматика
шкільного курсу геометрії»
м. Житомир - 2014 рік
Зміст
Вступ
РОЗДІЛ I. АКСІОМАТИЧНА ПОБУДОВА ГЕОМЕТРІЇ.
.1 Розвиток аксіоматичного методу
.2 Різні підходи та трактування логічних основ геометрії
РОЗДІЛ II. ОГЛЯД РІЗНИХ ПІДХОДІВ ДО АКСІОМАТИЧНОЇ ПОБУДОВИ ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ.
.1 Короткий історичний огляд розвитку аксіоматичного методу
.2 Система аксіом О.Д. Александрова
.3 Система аксіом О.В. Погорєлова
.4 Система аксіом Л.С. Атанасяна
РОЗДІЛ III. АКСІОМАТИКА ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ ЗА ПІДРУЧНИКОМ БУРДА М.І., ТАРАСЕНКОВА Н.А. ГЕОМЕТРІЯ.
.1 Загальна характеристика підручника геометрії
.2 Аксіоматика підручника
Висновки
Список використаних джерел
Додаток 1
ВСТУП
Аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, за яким в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) - аксіоми або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися шляхом чисто логічних міркувань, що їх називають доведеннями. Логічні правила цих міркувань строго фіксовані. В межах теорії залишається невизначеною невелика кількість вихідних понять (хоча можна вважати, що аксіоми є їхніми непрямими означеннями). На основі вихідних понять шляхом явних означень вводяться всі інші поняття теорії. На основі означень і аксіом доводяться теореми.
Найважливішою вимогою до системи аксіом є її несуперечливість, що можна розуміти так: скільки б теорем з цих аксіом ми не доводили, серед них не буде двох теорем, які суперечать одна одній. Суперечлива аксіоматика не може бути основою для побудови змістової теорії.
У шкільній геометрії важливу роль відіграє аксіоматичний метод. Питання, пов'язані з цим методом, завжди були в центрі уваги математиків. Зародившись в працях давньогрецьких вчених і узагальнений в "Початках" Евкліда, аксіоматичний метод отримав розвиток у роботах Герона Олександрійського (I ст. до н.е. - I ст. н.е.), Порфирія Сирійського (III ст.), Паппи Олександрійського (III ст.), Прокла (V ст.) та ін. Аксіоматичному методу були присвячені роботи вчених Сходу: Ал-Джаухарі, Сабіт ібн Коррі, Ібн Ал-Хайсама, Ал-Біруні, Омара Хайяма та ін.. Особливий розвиток аксіоматичний метод одержав у період Відродження, коли його стали застосовувати до інших областей знання - фізиці, етиці, юридичним наукам. Незважаючи на те, що проблема суворого обґрунтування геометрії на аксіоматичної основі була незалежно один від одного вирішена на рубежі XIX і XX століть у працях М. Пієрі, Д. Гільберта і В.Ф.Кагана, питання, пов'язані з аксіоматичним методом, залишилися в центрі уваги методичної думки.
Рішення проблеми аксіоматичного побудови шкільного курсу геометрії у школі ми знаходимо у підручниках М. Є. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А. Ю. Давидова, А.П.Кіселева, А. Н. Колмогорова, М.М. Нікітіна, А. В. Погорєлова, В.А.Гусева, в роботах авторських колективів Л.С.Атанасян (В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, І.І.Юдіна); А.Д.Александрова (А.Л.Вернер, В. І. Рижик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владімірова); В.Г.Болтянского (М. Б. Волович, А . Д. Семушина); В.М. Клопскійго (3. А. Скопець, М. І. Ягодовский); А. Н. Колмогорова (А.Ф.Семеновіч, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г.А. Бахуріна та ін. Тому тема курсової роботи є актуальною, має важливе теоретичне й практичне значення і потребує подальшого розроблення.
Предмет дослідження - аксіоматичний метод в шкільному курсі планіметрії і шляхи формування в учнів умінь продуктивно використовувати його при вивченні геометрії.
Мета роботи: розкрити суть аксіоматичного методу, логічних основ побудови шкільного курсу геометрії і ретроспектива їх співвідношень на практиці.
Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:
. Дослідити теоретичні основи даної теми, розглянути різні підходи до застосування аксіоматичного методу в курсі геометрії.
. Обґрунтувати та розробити теоретичні основи вивчення аксіоматичного методу в шкільному курсі планіметрії.
. Визначити оптимальні умови вивчення основ аксіоматики в навчанні геометрії.
Для досягнення поставлених задач використовувались такі методи дослідження, як інформаційно-пошуковий, порівняльний та статистичний, критичний аналіз джерел, прогнозування.
Початкові поняття і аксіоми запозичують з досвіду. Тому очікується, що всі факти, доведені в аксіоматичній теорії, мають тісний зв'язок з життям і можуть бути використані в практичній діяльності людини.
РОЗДІЛ I.
АКСІОМАТИЧНА ПОБУДОВА ГЕОМЕТРІЇ
1.1 Розвиток
аксіоматичного методу
Аксіоматичний метод широко застосовується в математиці, математичній логіці, у деяких розділах фізики і біології. І все ж за межами логіко-математичних наук сфера його застосування незначна.
У розвитку аксіоматичного методу розрізняють три етапи:
Перший етап - період змістової аксіоматизації, характеризується аксіоматичною побудовою силогістики в працях Аристотеля і геометрії в «Началах» Евкліда. Особливістю цього періоду є змістове застосування аксіоматичного методу. На цей час ще не існувало точного опису структури доведення, в міркуваннях використовувалися посилання на геометричну очевидність та інтуїцію, введення термінів відбувалося без необхідної чіткості та однозначності.
На другому етапі - період напівформальної аксіоматизації (кінець XIX початок XX століття) відбувається поступове звільнення від спроб змістової аксіоматичної побудови теорій і перехід до формального розуміння аксіоматичного методу. Перехід від змістового аксіоматичного методу до напівформального був підготовлений відкриттям неевклідової геометрії М.І.Лобачевским (1829).
На третьому - період формальної аксіоматизації, аксіоматичний метод розуміють як спосіб конструювання формалізованих мовних систем, що веде до чіткого розрізнення штучної формалізованої мови і тієї змістової предметної області, яка в ній відображена.
До XIX століття зразком логічної строгості були «Начала» Евкліда, аж допоки не виявилися суттєві недоліки в їх побудові. Строге аксіоматичне обґрунтування геометрії Евкліда вперше було здійснено наприкінці XIX століття в роботах М. Пієрі (1860 - 1904), Д. Гільберта (1862 - 1943), В.Ф.Кагана (1869 - 1953) та інших. Найбільшу популярність мала система аксіом, сформульована Д. Гільбертом в роботі «Основи геометрії» (1899).
Існують різні системи обґрунтування геометрії, які уможливлюють виведення із запропонованих аксіом усіх теорем евклідової геометрії.
I. Системи аксіом евклідової геометрії, які приймають за вихідне поняття «рух» (М.Пієрі, Ф.Шур, Віллерс, Ф.Бахман, А.Дельсерт).
II. «Метричні» системи аксіом евклідової геометрії (В.Ф.Каган, О.Верлен, Р.Л.Мур, Дж.Д.Біркгоф, О.В.Погорєлов).. Векторна аксіоматика евклідової геометрії (Г.Вейль).
Але формально вони еквівалентні, а відрізняються лише методичними підходами до побудови курсу геометрії.
Логічні основи геометрії - це фундамент геометрії, який має відповідати вимогам логіки. А логіка (від давньогрецького λογος - слово, розум, міркування) - наука, яка досліджує впорядкованість людського мислення, його закони, форми і прийоми. Основними законами логіки називають закони тотожності, суперечності, виключення третього і достатньої підстави, оскільки вони виражають базові риси логічно правильного мислення. А саме: визначеність, послідовність, несуперечливість і обґрунтованість думки. Основними категоріями логіки є: поняття (їх види і означення), судження, закони логіки, твердження (їх види і доведення), задачі (їх види і розв’язання) тощо. Отже, будувати шкільний курс геометрії на логічних основах - це означає всі його поняття, означення, класифікації, твердження, їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки. Усі складові частини підручника геометрії мають бути коректно викладені з погляду логіки. Досягти цього не легко, але треба.
Вичерпну систематизацію логічних напрямів побудови курсу геометрії було створено Міжнародною комісією з викладання математики на Міланській конференції в 1914 році. Вона містить чотири напрями:
§ А - формально-логічний;
§ В - досвідно-дедуктивний (рівень ВА , ВВ , ВС );
§ С - інтуїтивно-дедуктивний;
§ О - інтуїтивно-експериментальний.
Напрям А - характеризується повним відмовленням від інтуїції. Основні поняття (точка, пряма тощо) означаються неявно через аксіоми.
Особливістю напряму В є те, що основні поняття і відношення запозичуються з досвіду. Всі інші міркування та етапи побудови здійснюються дедуктивно. В межах цього напряму розрізняють три рівні:
Ø ВА - формулюються всі необхідні аксіоми;
Ø ВВ - явно подається тільки частина аксіом;
Ø ВС - формулюються тільки ті аксіоми, зміст яких не здається очевидним.
Напрям С - інтуїтивно-дедуктивний. В побудові курсу одночасно використовується інтуїція і строгі доведення, які не відокремлюються одна від одного.
Напрям В - інтуїтивно-експериментальний. В побудові курсу геометрії такого рівня основні поняття і відношення запозичуються з досвіду, геометричні факти встановлюють за допомогою експерименту.
Логічні основи побудови шкільної
геометрії традиційно пов’язували з аксіоматичним методом, «Началами» Евкліда та
підручниками «Геометрії» академіків А.М. Колмогорова і
О.В.Погорєлова. Майже 30 років логічну будову шкільної геометрії ототожнювали
зі створенням аксіоматичних навчальних курсів. З того часу у багатьох учителів
і методистів утвердилась думка, що логічно коректним можна вважати тільки
аксіоматичний курс геометрії.
1.2 Різні підходи та трактування логічних основ геометрії
Основи математики у вигляді логічно досконалої математичної теорії, що виходила з мінімуму вихідних положень, намагався викласти Евклід ще в III ст. до н.е. Основну свою працю грецькою мовою він називав „τοιχεϊα”, тобто стихії. Латинською мовою її називали ,,Еlementa” (елементи), російською - „Начала”, тобто початки або основи. Цей твір Евкліда - ранній попередник сучасного способу аксіоматичної побудови математичних наук.
Праця Евкліда складається з 13 книг. Планіметричний матеріал викладено у перших шести книгах, а стереометричний у трьох останніх. У 7-9 книгах подаються елементи теорії чисел, а в 10 - геометрична теорія ірраціональних чисел. Кожна книга починається з означень тих термінів, які зустрічаються в ній, а потім ідуть твердження (теореми і задачі). В першій книзі перераховуються також аксіоми і постулати.
Аксіоматична будова геометрії в «Началах» Евкліда була недосконалою, зокрема:
· не виокремлювалися первісні поняття, а формулювалися означення для всіх понять;
· введення термінів відбувалося без необхідної чіткості та однозначності;
· в міркуваннях використовувалися посилання на геометричну очевидність та інтуїцію;
· не існувало точного опису структури доведення.
До XX століття у всіх країнах геометрію викладали за Евклідом. Це було або майже точне наслідування «Начал» (як в Англії), або вільне трактування, подібно до робіт Лежандра (у Франції). Вітчизняні підручники і посібники з геометрії в різні часи будувалися за напрямами В, С, D - від досвідно-дедуктивного до інтуїтивно-експериментального .
Мрією академіка А.М.Колмогорова було привести логічні основи сучасної математики до такого стану, щоб їх можна було викладати в школі підліткам. Навіть у навчальному посібнику для учнів він умістив пункт «Про логічну будову геометрії» [4, с. 372], який починався такими словами.
«Логічно строгий» курс геометрії будують так:
I. Перераховують основні геометричні поняття, які вводяться без означень.
II. За їх допомогою означаються усі інші геометричні поняття.
III. Формулюються аксіоми.
IV. На основі аксіом і означень доводять усі інші геометричні твердження».
А.М.Колмогоров, говорячи про логічні основи шкільного курсу геометрії, основну увагу звертав на поняття і твердження.
О.В.Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення: «Головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, хто закінчить школу, стане математиками, а тим більше геометрами. Будуть і такі, які в своїй практичній діяльності жодного разу не скористаються теоремою ІІіфагора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, кому б не довелося міркувати, аналізувати, доводити».[8] Поняттям і означенням він не надавав великого значення. Це відмічали навіть його коментатори: «Але означенням в побудові систематичного курсу геометрії відводиться як би другорядна роль. Автор навчального посібника вважає, що нечітке відтворення учнями означення не повинно заважати йому правильно доводити теорему» [8, с. 14]. Так дивилися на шкільну геометрію впродовж двох останніх десятиліть. А оскільки доведення становлять тільки незначну частину логіки, тоді питання про логічну основу шкільної геометрії піднімалось і обговорювалось рідко.
Багаторічна практика переконливо показала, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві. Знання про можливість побудови геометрії на аксіоматичній основі потрібне філософам і математикам. Саме розуміння цього дозволило вченим відкрити неевклідові геометрії, істотно змінити погляди на сутність науки. Ніякої іншої ролі в навчанні геометрії аксіоматика не виконує - ні стосовно кращого осмислення означень понять і доведень теорем, ні щодо умінь розв’язувати задачі.
Адаптований для школи аксіоматичний курс геометрії не тільки малозрозумілий через надмірну абстрактність, а й надто бідний змістом. У ньому основна увага звертається на найперші теми, на очевидні твердження, а на вивчення найцікавіших питань (коло Ейлера, трикутники Наполеона, чевіани трикутника, паркети і орнаменти, задачі на розрізання фігур тощо) не вистачає часу. Він виявляється недостатнім для моделювання об’єктів і процесів реального світу. Люди, тварини, рослини, різні будови і механізми - речі неопуклі, а в шкільній геометрії традиційно обмежувалися вивченням тільки опуклих фігур: опуклих кутів, многокутників, многогранників, тіл обертання. В результаті учні часто не знають, скільки сторін має неопуклий чотирикутник, скільки граней - неопукла шестикутна призма тощо.
Все ж, ще й тепер немало учителів і методистів дотримуються традиційної думки про те, що основне в шкільній геометрії - аксіоми і теореми, що аксіоматичний курс геометрії цікавіший від інших, що він - мов цікава гра, збуджує інтерес учнів. Геометрію вивчають в школі не тому, що вона - «гра», а тому, що вона потрібна багатьом людям. Потрібна так само, як фізика, хімія, географія, астрономія, біологія та інші навчальні дисципліни. Для майбутніх науковців та інженерів вона потрібна як засіб, «знаряддя, таке саме, як штангель, зубило, ручник, терпуг для слюсаря» (О.М.Крилов), для всіх інших - як чудовий матеріал для розвитку логічного мислення учнів, адже «геометрія - правителька всіх розумових пошуків» (М.В.Ломоносов). А ще вона - великий згусток загальнолюдської культури. «У величезному саду геометрії кожний може підібрати собі букет за смаком» (Д.Гільберт). [7]
Логічні основи - необхідна умова побудови шкільного курсу геометрії, але їх не слід зводити до аксіоматичного методу. Бажано так будувати шкільний курс геометрії, щоб усі його поняття, означення, класифікації, твердження та їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки.
Розглянемо кілька алогізмів, яких слід наполегливо позбавлятися.
1. «Означення. Означення - це твердження, в якому роз’яснюється (через відомі поняття), які саме об’єкти або властивості підпадають під дану назву».
Таке означення не є коректним хоча б тому, що означення - це речення, але не твердження. (Учням краще пояснити так. Означення - це речення, в якому за допомогою вже відомих понять і їх властивостей розкривається зміст нового поняття).
2. Поділ трикутників на різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні з логічного погляду неправильний, бо кожний рівносторонній трикутник є водночас і рівнобедреним. (Правильною є інша класифікація. Усі трикутники поділяються на два види: різносторонні і рівнобедрені, а рівнобедрені - на рівносторонні і не рівносторонні).