Материал: Primer_T_r_1

Тогда её нормаль . Находим косинус угла между векторами и :

Замечание. Угол по определению всегда острый. Поэтому, если косинус окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!

Ответ: 1) ед.;

2) : ; кв. ед.;

3) куб. ед.;

4) – уравнение высоты; длина высотыед.;

5)6)

Задание №8.

Определить, какая линия на плоскости задается уравнением. Сделать чертеж.

1) ; 2) ;

3) .

Решение.

1) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

Получим уравнение эллипса с центром в точке с координатами и полуосями (рис.1).

2) Данное уравнение задает в полярной системе координат кривую – кардиоиду.

Меняя от до , вычислим значения полярного радиуса :

При изменении от до 2 значения будут меняться от до в обратном порядке.

Построим кривую по точкам. Направим полярную ось вдоль оси и поместим полюс в начало координат (рис.2).

3) В данном случае кривая задана параметрически: .

Кривая называется астроидой. Её можно построить по точкам, изменяя параметр от до 2 (рис.3). Составим таблицу значений и для от до /2 (в остальных четвертях значения будут повторяться с учетом знака):

Задание №9.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы из задания №1.

Собственными называются число и ненулевой вектор , удовлетворяющие уравнению: , где – матрица.

Собственные числа находятся из характеристического уравнения:, где – единичная матрица.

Для нахождения собственного вектора , соответствующего собственному числу , надо решить однородную систему уравнений: .

Составляем и решаем характеристическое уравнение для матрицы :

.

Найдем собственные векторы из системы уравнений:

Подставляя , получим

Система имеет бесчисленное множество решений. Положим ,

тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Аналогично, для имеем

Положим , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Ответ:

Замечания.

1. Если вектор является собственным вектором, соответствующим собственному числу , то для любого числа вектор – тоже собственный вектор, соответствующий .

2. Одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

3. Собственному числу, кратности больше единицы, может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов (например, для симметрических матриц).

29