Материал: Primer_T_r_1

Пример решения типового расчета № 1

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Задание №1.

Даны матрицы и . Найти:

1. матрицы и ;

2. определители матриц и ;

3. обратную матрицу (сделать проверку).

; ;

Решение.

1) Транспонируем матрицу , заменив строки столбцами.

Получим .

Тогда матрица равна:

.

Теперь найдем матрицу :

.

2) Будем вычислять определители матриц различными способами.

Найдем определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки:

Вычислим определитель матрицы , используя свойства определителей (римскими цифрами обозначены номера строк):

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:

3) Матрица – неособенная (), следовательно, она имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

Составим из алгебраических дополнений присоединенную матрицу и разделим ее элементы на определитель матрицы .

Тогда обратная матрица окажется равной:

Сделаем проверку:

Самостоятельно проверить, что !

Ответ: 1) ; ; 2)

3)

Задание №2.

Решить систему линейных уравнений

1) методом Крамера; 2) матричным методом; 3) методом Гаусса.

Решение.

1) Выпишем матрицу системы и найдем ее определитель (например, по правилу треугольников):

Теперь найдем вспомогательные определители , заменяя в исходной матрице -ый столбец на столбец свободных членов (= 1,2,3).

Получим:

Применяя формулы Крамера, найдем решение системы:

т.е. .

Сделаем проверку (самостоятельно!) и убедимся, что найденные значения неизвестных действительно являются решением исходной системы.

2) Матричный метод решения системы основывается на формуле:

, где – столбец неизвестных, – обратная матрица системы, – столбец свободных членов.

Матрица – неособенная (), следовательно, она имеет обратную. Найдем (см. задание 1).

.

Проверьте самостоятельно, что обратная матрица найдена верно!

Тогда . Следовательно, .

3) Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных.

Составим расширенную матрицу, приписав справа к матрице системы столбец свободных членов. Преобразуем полученную матрицу с помощью элементарных преобразований и приведем её к трапециевидной форме («прямой ход Гаусса»). Заметим, что при решении систем, преобразуют только строки матрицы!

Получим систему, равносильную исходной:

Прочитав её снизу вверх («обратный ход Гаусса»), получим:

Ответ: .

Задание №3.

Найти ранг матрицы

.

Решение.

Приведем данную матрицу с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме. Заметим, что, вычисляя ранг матрицы, можно преобразовывать как строки, так и столбцы!

Из второго, третьего и четвертого столбца полученной матрицы можно составить определитель (минор), отличный от нуля (он выделен пунктиром). Это наибольший по размеру ненулевой минор (базисный минор), следовательно, его размерность и равна рангу матрицы, т.е. Ответ:

Задание №4.

Исследовать систему с помощью теоремы Кронекера–Капелли и найти (в случае совместности) ее решения.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме.

Наибольший порядок ненулевого минора, как матрицы системы, так и расширенной матрицы системы равен 2: Следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли, система совместна, т.е. имеет решения. Поскольку число неизвестных () больше ранга матрицы, то система является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Найдем общее решение системы. Базисные неизвестные – это , коэффициенты при которых входят в ненулевой (базисный) минор. Остальные неизвестные – параметрические или свободные. Решим систему относительно базисных неизвестных (читаем снизу вверх).

Итак, придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесконечно много частных решений системы.

Общее решение можно записать в виде:,

где – любые числа.

Подставив полученные выражения для неизвестных в исходную систему, убеждаемся в том, что решение найдено верно (сделать проверку самостоятельно!).

Ответ: , где – любые числа.

Задание №5.

Доказать, что векторы линейно зависимы и найти эту зависимость:

Решение.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Имеем:

Значит, векторы линейно зависимы. Найдем эту зависимость.

Выразим один из векторов, например , через остальные. Другими словами, найдем коэффициенты и в разложении:

Распишем последнее равенство по координатам, получим систему:

Решим систему методом Гаусса:

Итак,

Ответ:

Задание №6.