Материал: Primer_T_r_1

Дан

Найти:

1) длину и уравнение стороны ;

2) длину и уравнение медианы ;

3) длину и уравнение высоты ;

4) площадь ;

5) угол .

Решение.

1) Используем уравнение прямой на плоскости через две точки:

Подставляя координаты точек , получим:

– уравнение стороны .

Длина стороны равна длине вектора .

ед.

2) Точка – середина отрезка .

Итак, Уравнение медианы будет иметь вид:

Длина медианы равна длине вектора

ед.

3) Для высоты используем уравнение прямой на плоскости через точку и нормаль: , где нормаль – вектор перпендикулярный прямой, а точка принадлежит данной прямой.

Имеем

– уравнение высоты .

Длина высоты – расстояние от точки до прямой . Уравнение прямой имеет вид:

Используем формулу расстояния от точки до прямой :

Получим: ед.

4) Площадь можно найти по формуле: , где – координаты вершин треугольника.

Имеем: кв. ед.

Замечание. Вычисленное значение площади можно проверить по формуле: (верно!).

5) Угол находим как угол между векторами и .

Ответ: 1) Сторона ед.;

2) медианаед.;

3) высота ед.;

4) кв. ед.; 5)

Задание №7.

Дана пирамида

Найти:

1) длину и уравнение ребра ;

2) площадь и уравнение грани ;

3) объем пирамиды;

4) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость

;

5) угол между ребром и гранью .

6) угол между гранями и

Решение.

1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки:

Подставляя координаты точек , получим:

– уравнение ребра .

Длина стороны равна длине вектора .

ед.

2) Площадь грани равна площади , которую можно найти через векторное произведение по формуле:

кв. ед.

Уравнение грани – это уравнение плоскости через три точки:

Подставляя в это уравнение координаты точек , получим уравнение грани :

3) Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов . Найдем координаты векторов:

Тогда смешанное произведение равно:

куб. ед.

4) Из уравнения грани : найдем координаты вектора нормали , расположенного перпендикулярно плоскости , а значит параллельно высоте, опущенной из вершины .

Используем каноническое уравнение прямой в пространстве:

Подставляя вместо координаты точки , а вместо координаты вектора нормали , получим уравнение высоты:

Длина высоты – расстояние от точки до плоскости . Используем формулу

Получим: ед.

5) Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами .

Имеем:

Заметим, что угол по определению всегда острый. Поэтому, если окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!

6) Угол между гранями и найдем как угол между нормалями к этим граням. Плоскость имеет уравнение и, следовательно, её нормаль . Напишем уравнение плоскости :