Материал: Larin_Anton_8383_cm_21_9

Пусть … – интерполяционный многочлен, определяемый парами ( , ), ( , ), ( , ), … так, что 012 … = ( ). Интерполяционные многочлены возрастающих степеней получают последовательно следующим образом:

Этот процесс можно закончить, когда у значений двух интерполяционных многочленов последовательных степеней совпадает требуемое количество знаков.

Постановка задачи.

В ходе работы студенты должны самостоятельно разработать программу на одном из языков программирования, обеспечивающую решение одного из вариантов, полученного от преподавателя. Используя интерполяционную схему Эйткена и/или интерполяционную формулу Ньютона, необходимо вычислить значение в точке x функции, заданной таблицей. Порядок выполнения работы следующий:

1.Составить подпрограмму-функцию для вычисления значения в заданной точке по формуле Ньютона INEWTON и/или схеме Эйткина AITKEN.

2.Составить головную программу, содержащую обращение к соответствующим подпрограммам и осуществляющую печать результатов (в

том числе и промежуточных вычислений) как на экран, так и в файл. Входные данные также считываются из файла.

6

3. Провести вычисления по программе. Построить график полученной функции (множество точек, соединённых последовательно), отметить искомую

точку.

Выполнение работы.

Интерполируем значения неизвестной функции ( ) по набору значний представленных в таб. 1.

Таблица 1 – Данный набор точек неизвестной функции ( )

Требуется интерполировать значение функции в точке = 2.2248

Визуализируем данные значения на графике. График представлен на рис.

1.

Была написана программа для интерполяции функции многочленом Ньютона для неравноотстоящих узлов. Она принимает на вход следующие значения: n – количество известных точек, x – интерполируемая точка, xx,yy –

список известных точек, их абсциссы и ординаты соответственно. Программа выводит слагаемые многочлена и интерполированное значение функции в точке в стандартный поток вывода. Код программы представлен в приложении А.

7

Аппроксимированная при помощи данной программы функция представлена на графике на рис. 2. Слагаемые многочлены и значение функции в точке = 2.2248 представлен в таб. 2. Значение функции в точке = 2.2248

рассчитано: ( ) = −0.21331084

Таблица 2 – Значения слагаемых многочлена Ньютона

Рисунок 1 – Исходный набор точек функции

8

Рисунок 2 – Аппроксимированные по методу Ньютона значения на промежутке

Была написана программа для интерполяции функции по схеме Эйткена.

Она принимает на вход следующие значения: x – интерполируемая точка, xx,yy – список известных точек, их абсциссы и ординаты соответственно, a,b

–границы промежутка на данной итерации . Программа выводит интерполированное значение функции в точке в стандартный поток вывода.

Код программы представлен в приложении А.

Аппроксимированная при помощи данной программы функция представлена на графике на рис. 3. Значение функции в точке = 2.2248

рассчитано: ( ) = −0.21331721

0,00000637065148667 т.е. совпали 5 знаков.

9

Рисунок 3 – Аппроксимированные по методу Эйткена значения на промежутке

Выводы.

Проанализировав результаты аппроксимации графиков по формуле Ньютона можно прийти к выводу, что данный метод удобен в использовании так как дает аппроксимационный многочлен, по которому в дальнейшем можно строить функцию на промежутке, а также позволяем добавлять или уменьшать количество слагаемых при получении новой информации о точках графика.

Метод Эйткена менее удобен в использовании так как при изменении набора точек либо потребности посчитать значение в новой точке требует проводить расчеты заново. Однако по получившимся интерполированным значениям функции в данной точке видим, что при расчете обеими методами для данной получаем значения совпадающие до 5-ти знаков после запятой, то есть дают достаточно хороший результат.

10