Материал: Larin_Anton_8383_cm_21_5

Цель работы.

Формирование практических навыков нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом Ньютона.

Основные теоретические положения.

В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения ( ) = 0, эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (касательных). Он состоит в построении итерационной

( ) = 0. Достаточные условия сходимости метода формулируются теоремой.

Теорема.

Пусть ( ) определена и дважды дифференцируема на [ , ] причём( ) ( ) < 0, а производные ′( ), ′′( ) сохраняют знак на отрезке [ , ].

Тогда, исходя из начального приближения 0 [ , ], удовлетворяющего неравенству ( 0) ′′( 0) > 0, можно построить последовательность

+1 = − ( ) , = 0,1,2, …,′( )

сходящуюся к единственному на [ , ] решению уравнения ( ) = 0.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию,

представленную на рис. 1. Если через точку с координатами ( ; ( ))

провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью

OX будет очередным приближением +1 корня уравнения ( ) = 0.

Для оценки погрешности -го приближения корня предлагается пользоваться неравенством:

| − | 2 | − −1|2, 2 1

где 2 – наибольшее значение модуля второй производной | ′′( )| на отрезке [ , ]; 1 – наименьшее значение модуля первой производной | ′( )| на отрезке [ , ].

2

Рисунок 1 − Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Таким образом, если

| − −1| < ,

то

| − | 2 2. 21

Это означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратическая сходимость). Из указанного следует, что при необходимости нахождения корня с точностью ε итерационный процесс можно прекращать, когда

21 | − −1| < 0 = √ 2 .

Рассмотрим один шаг итераций. Если на ( − 1)-м шаге очередное приближение

−1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины

( −1), ′( −1) и следующие приближение корня = −1 − ( −1) . При

′( −1)

выполнении условия остановки, описанного выше, величина принимается за приближенное значение корня , вычисленное с точностью .

3

Постановка задачи.

Используя подпрограммы-функции NEWTON и Round из файла methods.cpp (файл заголовков methods.h), найти корень уравнения ( ) = 0 с заданной точностью методом Ньютона, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Порядок выполнения работы следующий:

итерационного процесса 0 = √2 1 .

2

5. Составить подпрограммы-функции вычисления ( ), ′( ), предусмотрев округление их значений с заданной точностью .

6. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения

( ) = 0 и содержащую обращение к подпрограммам F, F1, Round,

NEWTON и индикацию результатов.

7.Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и его чувствительность к ошибкам в исходных данных, сравнить скорости сходимости методов Ньютона, бисекции и хорд.

Отделим графическим методом корни уравнения, т.е. найдем отрезки

[Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям теоремы Больцано-

4

Коши. По графику на рис. 1 видно что корень принадлежит отрезку [0.5, 1.25] и

функция на его концах принимает разные знаки.

Рисунок 1 – Локализация корня функции ( )

Проверим, что на выбранном отрезке функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона:

Функция дважды дифференцируема на [0.5, 1.25]

(0.5) (1.25) < 0

Производные ′( ), ′′( ) сохраняют знак Возьмем начальное приближение 0 = = 1.25.

( 0) > 0, ′′( 0) > 0 => ( 0) ′′( 0) > 0. Данное приближение соответствует условию теоремы.

Оценим величины 1, 2:

1 = min | ′( )| = 1.154884,

[ , ]

2 = max | ′′( )| = 7.268115.

[ , ]

5