Материал: 9
к)
; л)
; м)
.
Замечание 1.
График функции
строится на полуоси
,
поскольку
не определено. Соответственно строятся
и все последующие графики, например
– на
,
– на
,
и т.п.
ЭП2. Постройте графики при помощи элементарных преобразований:
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4) а)
; б)
; в)
;
5) а)
; б)
; в)
;
6) а)
; б)
; в)
;
7) а)
; б)
; в)
.
Пример 1.
Пусть
.
Поскольку
и при этом
,
то
,
или
.
Строим параболу
,
а затем
а) смещаем на 1 ед.
влево – теперь вершина не в точке
,
а в точке
.
Получаем график функции
;
б) растягиваем в
2 раза по вертикали. Точка
превращается в
,
точка
– в точку
,
и т.д. Получается график функции
;
в) поднимаем график
на 3 ед. Вершина оказывается в точке
.
ЭП3. Постройте схематичные графики функций
а) при помощи асимптот и точек пересечения с осями координат;
б) при помощи
элементарных преобразований графика
функции
:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
.
Пример 2.
Построим график функции
.
1-й
способ. В
точке
знаменатель обращается в 0, а при
значения очень велики. Это означает,
что
– не только координаты точки, которую
нельзя подставить, но и уравнение
вертикальной
асимптоты.
Горизонтальная
асимптота
– это прямая, к которой приближается
график при очень больших x
(при
).
Легко заметить, что при больших значениях
x
дробь
.
Значит,
– уравнение горизонтальной асимптоты.
График пересекает
ось OY,
когда
,
при этом
.
График пересекает
ось OX,
когда
.
Из уравнения
находим, что
,
и потому
.
Итак, график
пересекает ось OX
в точке
,
ось OY
– в точке
,
уходит в бесконечность вдоль вертикальной
прямой
,
а при удалении вправо и влево приближается
к горизонтальной прямой
.
2-й
способ. Чтобы
построить график при помощи элементарных
преобразований, функцию
следует привести к виду
или к виду
,
где
– некоторые числа.
Заметим, что
,
и выделим в числителе часть, пропорциональную
замеченной скобке
:
,
тогда
(сокращение на 2 во 2-й дроби случайно).
Получили, что
,
и тогда
;
а) строим график
функции
;
б) сдвигаем его на 4 ед. влево – график вытягивается по вертикали не вдоль оси OY, а вдоль прямой ;
в) отражаем график относительно оси OY – ветви «переворачиваются»;
г) поднимаем график
на
ед.– ветви вытягиваются вдоль прямой
.