Материал: 9

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Е.А. Мясников

ПРАКТИКУМ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть 1

Хабаровск 2012

УДК 51 (075.8)

ББК 11

М 99

Мясников Е. А. Практикум по математическому анализу. Часть 1 : учеб. пособие / Е. А. Мясников. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2012. – 100 с.

Содержание пособия соответствует государственным образовательным стандартам дисциплин «Математика» и «Математический анализ» для бакалаврантов 1-го курса обучения. Предназначено для самостоятельных и аудиторных практических занятий. Включает общие схемы решения задач, образцы решения примеров разной сложности, задания для самостоятельной работы.

Составлено для бакалаврантов экономических вузов всех направлений подготовки, будет полезно студентам, обучающимся заочно, и всем, кто желает изучить или повторить курс математики самостоятельно.

Рецензенты:

А.Г. Зарубин, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. каф. прикладной математики и информатики ТОГУ;

В.Я. Прудников, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики ДВГУПС.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии

в качестве учебного пособия

© Мясников Е.А., 2012

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2012

Предисловие

Цель пособия – помочь студентам 1-го курса освоить решение стандартных задач математического анализа.

Знание теории без практического применения в математике ценится невысоко, и серьёзное изучение её невозможно без систематической самостоятельной работы, основная часть которой – решение задач.

Сборники заданий по математике в основном создавались, когда преподаватель, составив вначале простейшие примеры, сам показывал решение, разбирал трудные вопросы и давал указания к домашней работе. Это было возможно при достаточном объёме аудиторных часов.

Теперь же, когда почти вся практическая работа выполняется студентами самостоятельно, особенности составления сборников приводят к тому, что студенты часто не знают, с чего начать работу – методы решения соседних задач могут существенно отличаться. По той же причине решение очередной задачи не помогает в выполнении следующей и потому быстро забывается. Кроме того, уровень первых же заданий нередко слишком высок, и студент переходит к более понятным дисциплинам.

Цель большинства задачников – научить студентов думать, однако такое умение (и не только в математике) предполагает знание простейших закономерностей и правил. Решение интересных и нестандартных задач невозможно без способности разбираться с простыми вопросами, доведённой до автоматизма.

В этом случае освоение сложной задачи сводится не к случайному поиску путей решения, а разбивается на последовательность стандартных действий, ни одно из которых не вызовет трудностей – пусть даже сам порядок действий окажется весьма необычен.

Пособие составлено по принципу постепенного усложнения. Изучение темы начинается с простых примеров, затем они усложняются, но в чём именно – обычно очевидно, чтобы разбираться именно с возникшей трудностью, а не начинать заново думать, на какую тему задача.

Каждый параграф имеет двухбуквенный код. Задачи, собранные под значком типа ИЧ1 или ОИ2, относятся к очередному вопросу темы. Если вопрос достаточно прост, под буквами перебираются возможные ситуации. Важные частные случаи нумеруются цифрами.

Задания даны «с запасом», и метод решения может стать вполне понятным до конца очередной группы примеров.

Образцы решения обычно даны перед заданием, если схема мало зависит от конкретного примера, и после задания – если надо показать отличия в методах.

Ответы, как правило, предложены там, где проверка требует большого времени, а сам ответ достаточно краток. Если же правильность решения или ошибка видны сразу (как при дифференцировании функций), проще обратиться к преподавателю или сверить ответы с группой.

Некоторые темы всё же не исчерпываются готовой схемой и предполагают предварительную работу на занятиях, с немедленным выяснением непонятных мест – например, построение графиков. Для них образцы решения не даны.

Там, где в изложении возникало противоречие между краткостью и строгостью оформления, выбор сделан в пользу первого. Например, записи вида правильнее читать как . Пособие не учебник, преследует более скромные цели, и решение задач желательно совместить с изучением теории. В этом помогут разработки, выпущенные на кафедре МММЭ, доступные учебники, лекции собственного или любого другого преподавателя.

В пособии не предлагаются варианты заданий для самостоятельных и контрольных работ. Преподаватель, ведущий занятия, составит их намного удачнее, зная уровень подготовки группы, программу и темы, на которые следует обратить особое внимание. Тем не менее всегда можно составить задание в виде списка номеров задач.

Основная задача пособия по отношению к преподавателю – дать возможность спокойно и последовательно изложить теоретические сведения и показать практическое применение математики в специальности, а не отвлекаться на многочисленные способы решения задач, подобранных под конкретную тему.

В 1-й части учтены темы математического анализа, входящие в программу 1-го семестра для бакалаврантов экономических вузов. В зависимости от направления подготовки часть тем можно оставить на факультативное изучение. Не включены темы «Применение производной в задачах оптимизации» и «Условный экстремум функции двух переменных», изложенные в [8].

Автор желает студентам успехов в изучении математического анализа и заранее благодарен за любые вопросы, замечания и сообщения о недостатках пособия. Высказать их можно по адресу: ХГАЭП, ауд. 511, кафедра МММЭ.

I. Задачи элементарной математики

§ 1. Линейная функция. Уравнение прямой. Парабола

Линейная функция называется также линейной зависимостью или линейной регрессией. Уравнение подчёркивает, что y зависит от x, а не наоборот. Уравнение , напротив, указывает на равноправие переменных и применяется, когда линейная комбинация образует новую величину, например, производственные затраты.

Любая линия (не только прямая) пересекает ось абсцисс (ось OX), когда , а ось ординат (ось OY) – если . Поэтому для поиска точек пересечения линии с системой координат подставляем эти значения по очереди в уравнение линии, находим другую координату и тем самым – точку пересечения.

С точки зрения математического анализа запись точнее. Принятая форма записи связана с традициями аналитической геометрии.

ЛФ1. Отметьте точки в декартовой системе координат:

1)

2)

3)

4)

ЛФ2. Постройте прямые, параллельные осям координат:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Как выглядят прямые и ?

ЛФ3. Постройте прямые, определив точки пересечения с осями координат:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

5) а) ; б) ; в) ; г) ;

6) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 1. Построим прямую .

Если , то , откуда и соответственно . Значит, прямая пересекает ось OY (на которой ) в точке .

Если же , то , откуда . Поэтому прямая пересекает ось OX (на которой ) в точке .

Отмечаем на оси OX точку , на оси OY точку и проводим прямую, проходящую через эти точки.

Пример 2. Построим прямую :

а) если , то , откуда и ;

б) если , то , откуда и .

Отмечаем на оси OX точку , на оси OY точку , и проводим прямую, проходящую через точки.

ЛФ4. Постройте прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;