Материал: 864

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Согласно уравнению (5.49) и условию задачи, имеем

x 100

x dp

или, разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении,

x 100

Интегрируем уравнение:

x 100

ln p lnC

x 100

Cp.

x 100

находим C:

С 90 С 1, то-

Используя условие Коши,

гда функция спроса p 100 x.

Пример 52. Функции спроса и предложения.

В простейших случаях предполагается, что спрос и предложение на рынке зависят только от цены товара. В более сложных случаях учитывается их зависимость от изменения цены, т. е. от производной. При этом для определения равновесной цены используется дифференциальное уравнение.

Пусть функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид

x 30 p 4	dp	;	x 20 p	dp	.

	dt			dt

А. Найти зависимость равновесной цены от времени, если p(0)=7.

Б. Найти lim p. Является ли равновесная цена устойчивой?

В. Построить график изменения цены. Решение. А. По условию, имеем

30 p 4

20 p

тогда

5dp

10 2p

10 2p 5

ln10 2p

t C ln10 2p 0,4t 2C

10 2p e 0,4t 2C 2p 10 e 0,4t 2C.

Подставляем в общее решение начальное условие, находим произвольную постоянную:

	14 10 e 2C e 2C 4.
Тогда 2p 10 4e 0,4t		и окончательно		P
получаем				P
получаем			7
	p 5 2e 0,4t.		7
	p 5 2e 0,4t.		5
Б.	lim p 5, поэтому равновесная		5	t
Б.	lim p 5, поэтому равновесная			t
	t

цена является устойчивой.

В. На рис. 6 представлен график

Рис. 6

изменения цены.

Пример 53. Пусть y(t) объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем считать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщенности рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t) py(t). Пусть I(t) величина инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е. (считая, что инвестиционный лаг равен нулю)

		y (t) lI(t).		(5.61)
Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксирован-
ную часть дохода, имеем
		I(t) mY(t) mpy(t),		(5.62)
где m – коэффициент пропорциональности (норма инвестиций),
0 m 1.
Тогда из равенств (5.61) и (5.62) следует
		y (t) mply(t).		(5.63)
Таким образом, имеем дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющимися переменными.
Пусть теперь кривая спроса имеет вид p(y) 3 2y,				норма
акселерации	1	1,5; норма инвестиций	m 0,6; y(0) 1. Найти объ-

	l

ем реализованной продукции и его значение при t=2.

Решение. Для заданных условий уравнение (5.63) принимает вид y 0,4(3 2y)y.

Тогда, разделяя переменные, имеем

																				dy				0,4dt.								(5.64)
																		(3 2y)y						0,4dt.								(5.64)
																		(3 2y)y
		Интегрируем левую часть уравнения:																												3
		dy							1					dy			1							dy		1		d(y		3	)
		dy							1					dy			1							dy		1		d(y			)
																													4
	(3 2y)y										2	y	2		3	y			2					3 2	9	2		3	2			9
															2						y						y
																					y						y					16
																								4	16			4				16
		1	ln		y				3
									3
									2	, следовательно, общий интеграл уравнения (5.64) имеет
								y		, следовательно, общий интеграл уравнения (5.64) имеет
3								y
							3
				y


вид ln						2			1,2 t lnC, откуда, потенцируя, получаем
вид ln									1,2 t lnC, откуда, потенцируя, получаем
					y
																			y			3
																						3
																						2	C e 1,2t.
																						2

																				y

Частный интеграл (с учетом начального условия C 1 ) при-

		3							2
	y	3		1
	y
нимает вид	2				e 1,2t. Выразим из последнего равенства y:
нимает вид	y				e 1,2t. Выразим из последнего равенства y:
	y		2
			3
					y					.
					y					.
			1				e	1,2t
						2(1			)
						2(1			)
			2

Получили частное решение дифференциального уравнения. При

t=2 объем реализованной продукции составит y 3 .

2 e 2,4

Вопросы к разделу «Дифференциальные уравнения

вприложениях»

1.Укажите механический смысл нормальной системы дифференциальных уравнений.

2.Приведите примеры системы дифференциальных уравнений

второго порядка, задающих движение в пространстве и на плоскости материальной точки под действием силы.

3.Математической моделью каких процессов являются линейные дифференциальные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные?

4.Приведите примеры задач из области физики, для решения которых требуется составить дифференциальное уравнение (математическую модель) и решить его.

5.Что называется краевой задачей? Приведите примеры постановки краевых задач для дифференциальных уравнений второго и более высокого порядка.

6.Объясните, что называют задачей о собственных значениях и собственных функциях краевой задачи?

7.Приведите примеры экономических задач, для решения которых применяются дифференциальные уравнения.

6. ИНДИВИДУЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. 1 xy 2y 1 0; y(0) 0. 2. xy y y2.

3. (1 y2)dx xydy.

4.xy2dy (x3 y3)dx.

5.y 2xy 2xe x2 .

6.y		6	; y(1)			(1) 1.
	x3
				2; y (1)	1; y

7.(1 x2 )y xy .

8.y 4y 13y 0.

9.y 4y sin x.

10.y(4) y 0.

11.dydt x 4y;

2x 3y.

Вариант 2

1.y y2 1;y |x 0 3.

2.xdx ydy 0;y(0) 1.

1 y

1 x

3.y 1 x2 1 y2.

4.y y cos2 y.

5.xy y y2x.2

6.x2 y 1 x3;y(1) 1;y (1) 2.

7.3yy (y )2 0.

8.y 5y 6y 0.

9.y 2y 5y x 1.

10.y(4) 2y y 0.

11.dydt 5x 8y;

3x 3y.

Вариант 3

1.y x3 2y.

2.(x2 1)y 2yx2 0;y(0) 1.

3.x(1 y2 )dx (1 x2 )dy.

4.y2dx x2dy xydx.

5.y yctgx sin2 x.

6.y cos2x; y(0) 1; y (0) 1.

7.y 2y(y )3 0.

8.y 9y 0.

9.y 4y 3x.

10.y(4) 4y 0.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем