Материал: 2310

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего М и средняя квадратическая погрешность самой средней квадратической погрешности mm определяется по выражениям:

Оценки (3.4.) – (3.8.) будут точечными, определяемые одним числом. При небольших объемах выборок следует использовать интервальные оценки, определяемые двумя числами и позволяющие установить точность и надежность оценок.

Для сравнительной оценки полученных из статистической обработки параметров распределения с нормативными величинами определяем доверительные интервалы среднего значения и дисперсии или среднего квадратического отклонения по выборочным характеристикам x и m.

Для оценки доверительных интервалов задаемся надежностью (доверительной вероятностью) Р=0,95 и уровнем значимости (точностью оценки) q=0,05, учитывая,что исследуемые совокупности измерений имеют ограниченный объем и вероятность появления отклонений, превышающих по абсолютной величине 2m, очень мала.

Для генеральной совокупности доверительные интервалы математического ожидания «а» и стандарта « » можно определить из выражения [16]: _

где t нормируемый множитель, зависящий от Р; N объем выборки. Приведенные выше оценки математического ожидания «а» и стандарта « » являются предельными и справедливыми при больших N.

При ограниченных объемах выборок, что имеет место у нас, для оценки «а» используется распределение Стьюдента и в выражение (3.11) вместо «t» вводится новый коэффициент «tq» нормируемый множитель, который зависит не только от Р, но и от количества элементов в выборке. Выражение для оценки «а» при ограниченных объемах выборок будет иметь вид:

Для оценок стандарта « » при ограниченных объемах выборок используется распределение 2 с N 1 степенями свободы:

где m средняя квадратическая погрешность;

q величина,зависящая от объема выборки и вероятности, которая определяется из выражения (3.15.) или по таблице [16, прил.4]

N 1/(1 g)

где заданная надежность; R ( , N) плотность распределения.

Степень близости эмпирического с теоретическим распределением оценивают с использованием критериев согласия (проверки).

Для первоначального представления об эмпирическом распределении строят гистограмму и кривую теоретического распределения. При этом кривая теоретического распределения строится на основании значений вероятности Р(хi) по интервалам, соответствующим эмпирическому распределению.

Значение вероятностей определяем при помощи таблиц функций Лапласа

[16]:

где t a x m или t b x m;

а и b границы интервала; х среднее взвешенное; m «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Однако гистограмма полного представления о характере эмпирического распределения не дает.

Многочисленными исследованиями процессов возведения зданий в нашей стране и зарубежом установлено, что они в основном подчиняются закону нормального распределения. В качестве статистической гипотезы предполагаем, что распределение значений хi подчиняются нормальному закону. Это будет нулевая гипотеза.

При проверке нулевой гипотезы могут быть допущены ошибки: первого рода, когда будет отвергнута правильная гипотеза, и второго рода, когда принята неправильная гипотеза. Для наших исследований является наиболее важным устранение ошибки первого рода, а поэтому выбираем достаточно малый уровень значимости q = 1-P = 0,05. При таком уровне значимости только в 5% из 100% можно совершить ошибку первого рода, а вероятность появления отклонений, превышающих по абсолютной величине 2m, будет равна 0,05.

В качестве критерия согласия используем «критерий 2» (хи квадрат) К. Пирсона, отличающийся большой чувствительностью к конкурирующей гипотезе.

При сравнении эмпирических и теоретических (вычисленных в предположении нормального распределения) частот, критерий К.Пирсона должен дать ответ, случайно (незначимо) или неслучайно (значимо) расхождение этих частот.

Для проверки нулевой гипотезы с применением «критерия 2» К. Пирсона используется случайная величина:

к2

где n эмпирические частоты; NP (хi) теоретические частоты; к число интервалов; Р(хi) теоретическая вероятность попадания хi в интервал.

Чем меньше будет разница между эмпирическими и теоретическими частотами, тем меньше величина критерия. Это в известной степени будет характеризовать близость эмпирического распределения с теоретическим.

К.Пирсоном доказано, что при n закон распределения случайной величины(3.17) стремится к 2 – распределению с К–1 степенями свободы [16, 28]. Число степеней свободы определяют по выражению К=S-1-r где S число интервалов, r число параметров предполагаемого распределения, которые оцениваются по данным выборки.

Предполагаемое нормальное распределение оценивается двумя параметрами: математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, а поэтому у нас r=2.

При одностороннем критерии, который более «жестко» отвергает нулевую гипотезу по сравнению с двусторонним, область принятия нулевой гипотезы будет определяться неравенством:

где 2набл вычисленный критерий по данным наблюдений;2кр критическая точка распределения 2, определяемая по заданному

уровню значимости q и числу степеней свободы К [16, прил.5].

Критерий К. Пирсона при малых 2 может быть неэффективным. В этом случае следует выполнить дополнительную проверку с применением других критериев.

Например, менее чувствительный к конкурирующей гипотезе является критерий Б.С. Ястремского, который характеризуется [11, 28] величиной

где К число интервалов; 0,6 при К 20; n частоты; N объем выборки. Нулевая гипотеза принимается при I 3.

При одинаковых объемах выборок, гипотезу об однородности дисперсий можно проверить упрощенным способом с применением критерия Кочрена:

(3.22)

где i номер выборки; m2i дисперсия; g число выборок. Однородной дисперсия считается, если

где Gg табличное значение критерия Кочрена, которое зависит от уровня значимости q, числа выборок g и объема ni этих выборок.

При различных объемах выборок, проверку нулевой гипотезы об однородности дисперсий можно выполнить при помощи критерия Бартлета [16]:

В выражении (3.24)

где i число степеней свободы в выборке; m2i выборочные дисперсии; m2 общая средневзвешенная дисперсия для всей совокупности измерений. При выполнении неравенства B 2q, однородность дисперсий подтвер-

ждается, где 2q, выбирается по таблице критических значений распределения

2.

Следует отметить, что критерий «В» чувствителен к отклонениям распределений от нормального, а потому к выводам полученным по этому критерию, необходимо относиться осторожно.

При исследовании точности возведения строительных конструкций измеренные смещения монтируемых элементов (колонн, ригелей, балок или ферм) с разбивочных осей и отклонения колонн от вертикали, т.е. их действительные положения, сравниваются с проектным (нулевым), не имеющим количественного выражения (х0 = 0). В связи с этим, полученные в результате измерений погрешности монтажа сборных элементов (хi - х0 хi), будут истинными погрешностями, характеризующими точность установки деталей в проектное положение. Эти погрешности могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки, но в одинаковой степени влияющие на несущую способность строительных конструкций зданий. В данном случае погрешности монтажа конструкций следует считать существенно положительными величинами.

При исследовании точности монтажа конструкций статистическая обработка результатов измерений с совокупностью существенно-положительных величин проводится подобно как и с совокупностью случайных величин и сводится к нахождению основных параметров x и m. Если х 3m, то кривая, описывающая распределение хi не будет отличаться от нормальной кривой. В этом случае все значения хi будут положительными. Когда же х 3m, то при этом часть значений будет отрицательной. При математической обработке сущест- венно-положительных величин отрицательные значения будут отнесены к положительным, а это исказит характер распределения и форму нормальной кривой, вызывая ее асимметрию. Чем меньше х по сравнению с 3m, тем больше смещается центр группирования в сторону увеличения и тем значительней искажения и увеличения ее асимметрии. Значение смещенного центра xсм , при известном центре нормального распределения x , определяется по выражению:

3.2.Исследование точности изготовления сборных железобетонных конструкций зданий.

Для анализа точности изготовления сборных железобетонных конструкций и определения уровней производственной базы стройиндустрии (с точки зрения обеспечения геометрической точности конструкций, были проведены линейные измерения граней колонн и длин ригелей, балок или ферм многоэтажных зданий серии 1.020 и одноэтажных производственных зданий унифицированных габаритных схем (УГС).

Автором лично выполнены исследования точности изготовления сборных железобетонных элементов (граней колонн, длин ригелей или ферм) четырехэтажного здания серии 1.020 главного производственного корпуса дрожжевого завода (объект 1),одноэтажного производственного здания с шифром унифицированной габаритной схемы (УГС) Б 18 72 корпуса учебного центра пожарной службы МЧС, возводимых в городе Омске.

При линейных измерениях граней колонн применялся стальной метр с миллиметровыми делениями, а для длин ригелей, балок и ферм стальная двадцатиметровая рулетка с миллиметровыми делениями (ГОСТ 7502 69).

Перед измерениями мерные приборы были прокомпарированы с помощью женевской линейки при температуре +22° Поправка за компарирование для стального метра составила Lмк=+0,05 мм, а для стальной рулеткиLрк=+0,07 мм. Поправки за разность температур воздуха в период компарирования и при измерении железобетонных конструкций определялись по выражению:

, ( 3.29)

где коэффициент линейного расширения мерных приборов (для стали 12,5 х 10-6); tк, tв температура воздуха соотвественно при компарировании и измерении; L значение измеренных размеров.

Поправки за компарирование ( Lк) и за разность температур компарирования и измерений ( Lt) вводили в результаты измерений при их обработке. Точность собственного измерения размеров будет зависеть от погрешности отсчетов по метру или рулетке и от погрешности совмещения нулевого штриха метра или рулетки с гранями сборных железобетонных элементов. Примем эти погрешности равными mо=mc=±0,5 мм. Тогда точность собственного измерения

будет mизм.=mо 2= =±0,5 2 =±0,7 мм.

Погрешности в размерах граней колонн и длин ригелей, ферм были сформированы в малые выборки в отдельности по каждому объекту и преобразованы в вариационные ряды. Далее вариационные ряды малых выборок были преобразованы в интервальные, которые обрабатывались с применением методов математической статистики и теории вероятностей, как изложено в разделе

3.1.