Документ: 2192, страницы 176-180 | Студенческое хранилище

Материал: 2192

Смотрите также:

				K lim		d .		(4.20)
					s 0	s	ds
На рис. 4.12 в точках и M1 показаны касательные векторы, модули
которых равны			1. Для оценки величины изменения вектора						на
дуге s				1
	вектор 1			перенесём в точку М.Тогда из векторного треугольника
				В свою очередь,			можно выразить	через ∆φ из
МАВ 1			.
треугольника МАВ: 1 . Таким образом, модуль вектора кривизны
из (4.20) равен				K .
								(4.21)
нормали					s
СК касательным векторам ,
					1 на рис. 4.12 в точках М,			М1 проведены
	в в де отрезков ,				1, которые пересекаются в точке О1,
называемой		центром кр визны дуги ММ1. Величины ,						1 являются
		б
радиусами кр в зны в точках М, М1.
Используя формулы геометрии и учитывая, что при s 0 ; 1									,
получим		s . Тогда из выражения					(4.21) найдём K 1 , где		–

радиус кривизны траектории.

Модуль вектора кривизны К есть величина, обратная радиусу кривизны

(радиусу	кривой)	в данной точке. Направление вектора K			определяет
вектор, который в пределе при ∆φ→0 совпадает с нормалью n .
Из формулы (4.20) получим окончательно
				1	(4.22)
		АK n .			(4.22)

		4.5. Естественный трёхгранник
				И
Для определения понятия соприкасающейся
плоскости проведем вспомогательнуюДплоскость
через две пересекающиеся прямые M				и M1 1
(рис. 4.13). Предельное положение этой
плоскости при совпадении в пределе точки М1 с
точкой	М	называют	соприкасающейся

плоскостью кривой в точке М. В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Построим в точке М кривой линии естественные оси координат. Первой естественной осью является касательная . Положительное направление этой оси совпадает с направлением единичного вектора касательной ,

176

направленного в сторону возрастания дуги. Перпендикулярно касательной оси располагается нормальная ось n , направленная в сторону вогнутости кривой – к центру кривизны.

Оси и n образуют соприкасающуюся плоскость, которая находится в плоскости кривой ММ1 , т.е. в плоскости, образованной векторами , 1 ,

при ММ1 0 . Через ось n перпендикулярно оси проходит нормальная плоскость, в которой перпендикулярно осям и n расположена вторая

нормаль b, называемая бинормалью. Три взаимно-перпендикулярные оси
, n , b, полож тельные направления которых совпадают с направлениями

единичных векторов		, n , b , называют естественными осями координат.
точки
Эти оси образуют в точке М естественный трёхгранник. При движении
СМ по кр вой естественный трёхгранник движется вместе с точкой
как твёрдое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с
движущейся точкой.
б
На р с. 4.13 представлена правая естественная система координат.
Правило определен я правой системы координат заключается в том,
чтобы, смотря навстречу вектору						b ,		видеть поворот вектора к вектору n
против вращен я часовой стрелки. Термин правая система координат
заимствован	з ф з ки: вправо происходит вращение буравчика,										остриё
	А
которого совпадает с вектором b							при повороте оси к оси n .
4.6. Ускорение точки при криволинейном движении
Скорость точки при задании ее движения естественным способом
определяют	выражением		(4.18)				как произведение модуля скорости и

единичного касательного вектора V V .
Вектор ускорения a точки,						согласно определению, есть производная
от выражения вектора скорости по времени t .
										И
При определении производной от произведения учитываем, что											есть
сложная функция двух переменныхД: s,t .
				d				dV
		dV		d				dV		d ds
	a	dt		dt	V			dt	V	ds dt .	(4.23)
В соответствии с полученными ранее выражениями (4.19), (4.20),
(4.22) запишем						2
					V	2					(4.24)
	a	a					n	a ann .			(4.24)

Получено разложение ускорения точки по естественным осям координат. Часть ускорения a называют касательной составляющей

ускорения. Другую часть an называют нормальной составляющей ускорения.

177

Она направлена в сторону вогнутости траектории, т. е. в сторону единичного вектора главной нормали n .

Таким образом, ускорение точки при криволинейном движении

a a an .

(4.25)

Из выражения (4.25) получим формулы для проекций ускорения на

С

естественные оси:

V 2

a

dV

;

an

;

ab 0 .

(4.26)

dt

направление касательной,

Проекц ю ускорен я на положительное

нормали

совпадающую с направлением единичного вектора , называют

касательным ускорен ем, а на главную нормаль, направленную по

единичному вектору n , – нормальным ускорением. Проекция ускорения на

бинормаль, направленная по единичному вектору b , равна нулю;

бa

следовательно, ускорен е точки расположено в соприкасающейся

плоскости траектор . В этой плоскости находятся единичные векторы

касательной

главной

.

Уч тывая ортогональность векторов a

и an

(рис. 4.14),

в соответств и с уравнением (4.25)

А

имеем полное ускорение точки

a

a2 an2 ;

tg

.

(4.27)

an

Нормальная составляющая ускорения

всегда

Д

направлена в сторону вогнутости траектории.

Касательная составляющая a при s 0 направлена в положительную

сторону касательной, т.

е.

по направлению единичного вектора , а при

s 0 – в отрицательную, противоположно .

s 0

векторы скорости

и касательной

составляющей

При s 0 и

.

И

ускорения направлены в одну сторону – по

вижение точки является

ускоренным в положительном направлении касательной к траектории.

При s 0 и

s 0

векторы

скорости

и касательной

составляющей

ускорения также имеют одинаковые направления, и, следовательно, движение точки является ускоренным в отрицательном направлении по касательной к траектории.

При s 0	и	s 0 имеем замедленное движение точки в

отрицательную сторону по касательной к траектории точки.

В том случае, если требуется определить касательное и нормальное ускорения при координатном способе задания движения точки, то сначала по формулам (4.13) и (4.17) определяют модули скорости и ускорения точки:

V Vx2 Vy2 Vz2 ; a ax2 a2y az2 .

178

2Vx

dVx

dVy

dVz

dV

dt

2Vy

2Vz dt

Согласно формуле (4.26),

a

dt

2

Vx2 Vy2 Vz2

или

a

Vxax

Vy ay Vz az

.

(4.28)

С

V

V 2

Знак плюс, полученный в ответе после вычисления дроби, соответствует ускоренному движению точки, а знак минус – замедленному. Нормальное ускорение точки определяют из формулы

(4.25): an a2		a2 .
траектории						an .
Рад ус кр в зны					находим из формулы (4.26)
4.7. Класс ф кац я движений точки по ускорениям её движения
Выясн м		зав с мость		характера движения от значений её
нормального		касательного ускорений в течение некоторого промежутка
времени.
Случай 1. an 0 ; a 0 . Точка движется прямолинейно и равномерно.

	б
Случай 2.		an 0 ;	a 0 .	Точка движется криволинейно и равномерно.
Модуль её ускорения			a an V 2 . Если a 0 в отдельный момент

модуль её скорости Аимеет экстремальное значение. Например, при колебаниях маятника его скорость максимальна в вертикальном

времени, то точка не движется равномерно, а в этот момент времени

положении маятника. При экстремуме скорости ускорение в этом положении маятника a 0 .

Случай 3. an 0 ; a 0 . Точка движется прямолинейно и неравномерно.

момент времени, то точка не движется прямолинейно, а проходит точку перегиба траектории или модуль её скорости обращается в нуль

(например, при изменении направления движения точки						V 0 ),	в этой
точке скорость меняет знак.					И
Случай	4.	an 0 ;	a 0 .	Точка	совершает	криволинейное
неравномерное		движение.	Модуль	её ускорения a		a2 an2 .	Если
направления	векторов V и		a совпадают,		то движение	ускоренное, в

противном случае – замедленное.

179

4.7.1. Равномерное движение

Равномерным называют такое движение точки по траектории любой формы, при котором численная величина скорости всё время остаётся

постоянной: V const . Тогда

a dV 0 ,

и ускорение точки равно его

С

dt

нормальному ускорению a an

V 2

. Найдём уравнение равномерного

кривол нейного дв жен я. Из формулы V ds

получаем ds Vdt . Пусть

в начальный момент времени

t0

0

dt

точка находится от начала отсчёта на

точки s s0

Vt .

(4.29)

расстоян

s0

. Тогда, взяв от левой и правой частей равенства

определённые

нтегралы

в

соответствующих

пределах,

получим

s

t

s s0 Vt . Так как V const , окончательно находим закон

ds Vdt

ли

s0

0

б

равномерного дв жен я

в виде

А

4.7.2. Равнопеременное движение

Равнопеременным называют такое движение точки по траектории

любой формы, при котором касательное ускорение остаётся постоянным:

a

const .

Найдём закон этого движения,

считая,

что при t0

0

s s0 ;

V V0 ,

V0

Дds

где

– начальная скорость точки.

Согласно

формуле

(4.26),

dV a

, или

dV a dt . Так как

a const ,

то,

взяв

от обеих

частей

dt

последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим

И

V V0

a t .

(4.30)

Формулу (4.30) представим в виде

dt

V0

a t или ds V0dt a tdt .

Вторично интегрируя, найдём уравнение равнопеременного движения

точки:

a t2

s s

0

V t

.

(4.31)

0

2

Если при движении точки модуль скорости возрастает, то движение

называется равноускоренным a

0 , а если убывает – равнозамедленным

a

0 .

Данное утверждение справедливо при движении точки в положительном направлении отсчёта дуговой координаты s .

180

Модуль её ускорения

в некоторый