Материал: 2192

момент времени t1 t t эта точка занимает положение М1, имея

скорость V (рис. 4.8,а).

1

приращениеЧтобы ть

скорости V за время ∆t, перенесём

зобразa .

Средн м ускорен ем точки аср

за время ∆t называют отношение

А

V

ср

a

lim

V

dV .

t 0

t

dt

Д

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени

от скорости точки. Приращение скорости ∆V и, следовательно, среднее

ускорение aср направлено в

сторону

вогнутости траектории. Так же

dr

V

.

(4.9)

dt

С

dV

d 2r

a

dt

dt2 .

(4.10)

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то

скорость и ускорение вычисляют по формулам (4.9) и (4.10). Определение

скорости

ускорен

я точки сводится к математической задаче вычисления

первой

Для практ ческого выч сления скорости и ускорения обычно используют

кинемат

способ вв ду его компактности удобен для теоретического изложения

б

4.3. Скорость

ускорение точки при координатном способе

задания движения

4.3.1. Скорость точки в декартовых координатах

Разлож в

рад ус-вектор

А

r xi yj zk;

V Vxi Vy j Vz k ,

(4.11)

где х, у,

z

–

координаты точки

М;

i , j,k

–

единичные векторы

осей

Д

Учитывая

(4.11),

согласно

определению скорости, имеем

dr

d

И

V

(xi

yj

zk) xi

yj

zk,

dt

dt

(4.12)

здесь i , j, k

не изменяются при движении

точки М.

Точки над х, у, z означают их

производные по времени. Сравнивая (4.11)

и (4.12), получаем для проекции скорости

на декартовы оси координат следующие

формулы:

Vx

dх

х; Vy

dy

y;

Vz

dz z.

(4.13)

dt

dt

dt

С

V

x

Vy

V

Vx2

Vy2

Vz2

x2 y2 z2

;

cos(V,i )

;

cos(V,

j)

;

V

V

V

z

cos(V,k )

.

V

оси

то,

выбрав

Если точка дв жется в плоскости,

коорд нат Оx

Оy в этой плоскости, получим

z const 0;

Vz z

0;

Vy

y

; Vx x .

б

2

2

Соответственно

y

V

x

y

; cos(V

,i ) V

;

cos(V

, j) V .

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например

Оx, направляют по траектории (рис. 4.10).

Тогда

y const 0

и

z const 0 ,

следовательно,

y 0;

z 0 .

Координату точки, проекцию скорости и ее модуль определяют по

формулам x f (t);

Vx

x ;

V Vx .

Д

Пусть известны уравнения движения точки в декартовых

координатах.

На

рис.

4.7,а

показаны траектория

точки

и

несколько

векторов скорости для

И

разных моментов времени, а на рис. 4.7,б показан

С

а ахi ay j az k ,

(4.14)

где ах, ау, аz – проекции вектора ускорения на координатные оси.

огласно определению ускорения и формулам (4.11) и (4.12), имеем

dV

d

а

(Vxi

Vy j

Vz k )

xi yj

zk.

(4.15)

dt

dt

равн вая (4.14) и (4.15), получаем формулы для проекций

движущейся

ах

dV

x

x;

ау

dVy

y ;

аz

dV

z

z.

(4.16)

dt

dt

dt

б

Проекц вектора ускорения на какую-либо координатную ось равна

координаты

точки.

Ч словое значен е ускорения и косинусы углов вектора ускорения с

а

А

а

а

2

а

2

а2

x2

y2

z2 ;

х

у

z

a

x

a

z

(4.17)

cos(a,i )

a

;

cos(a,

j)

a

;

cos(a, k )

.

a

При движении точки в плоскости оси Оx и Оy выбирают в этой же

плоскости. Тогда z=const=0; аz

z 0.

Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

a

yj;

а

х

х;

ау у.

И

Д

Соответственно

х

у

;

cos(a,i ) a

; cos(a, j)

a .

Для прямолинейного движения ось Оx направим по траектории точки.

Тогда у = const = 0;

z = const = 0 и

ау

у 0

; тогда

a x .

и

dr

ds

, равный производной от радиуса-вектора

по дуговой коорд нате, направлен по касательной к кривой в точке М.

считать проекциейалгебраическойскорости на положительное направление касательной к

хорды r

к дл не стяг вающей дуги s при стремлении её к нулю.

сторону возрастан я дуговой координаты независимо от направления

движен я точки.

. Её можно

Величина V s называется

скоростью точки

траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .

Модуль скорости точки в данный момент времени равен первой

производной от дуговой координаты

точки по времени:

ds

(4.19)

АV s.

dt

4.4.2. Вектор кривизны. Радиус кривизны

В точке М кривой

линии

проведём

касательную (рис. 4.12).

Д

В другой близкой точке кривой М1,

И

отстоящей

от точки М на расстоянии s ,

построим

касательную

1 . Единичный

вектор характеризует в разных точках

линии направление касательной, которое

оценивают изменением угла между двумя

касательными на отрезке дуги.

По определению, вектором

кривизны

K кривой является

предел

отношения