Материал: 14

Качение колесной пары без скольжения. Особенность движения колесной пары в режиме качения без проскальзывания состоит в том, что ее извилистое движение возникает не под действием восстанавливающих сил, а вследствие свойств наложенных кинематических связей.

Если вместе с заданием скорости   и угловой скорости   сообщить колесной паре малое возмущение – поперечное   и (или) угловое  , сохранив при этом условие качения без скольжения, то колесная пара будет катиться по рельсам, одновременно совершая извилистое движение, вследствие того, что при отклонении поперек оси пути радиусы колес станут разными (рис. 10.2, а). Радиусы колес определяются как

  ,                                      (10.2)

где   – величина изменения радиуса за счет конусности (рис. 10.2, б), которая определяется  по формуле

,                                   (10.3)

где   – величина поперечного смещения колесной пары;   – уклон (конусность) конической части бандажа.

В этом случае условие качения без скольжения выполняется, если предположить, что колесная пара вращается вокруг оси   с угловой скоростью   так, что в точке касания   скорость   направлена против скорости  , а в точке   – по направлению   (рис. 10.3).

Условия малости угла   будут иметь вид:

        (10.4)

Условие качения без скольжения запишем в следующем виде:

                 (10.5)

Выразим абсолютную скорость в точке   в направлении, перпендикулярном оси колесной пары (оси  ), и приравняем ее нулю:

.                          (10.6)

С учетом формул (10.2)–(10.4) выражение примет следующий вид:

.                           (10.7)

Окончательно получим:

                                  (10.8)

Условие качения без скольжения в точке   приводит к аналогичным результатам, но со знаком «минус»:

                           (10.9)

Запишем выражение для проекций скоростей тех же точек на ось   колесной пары. Эти проекции будут одинаковы для любой точки колесной пары и определятся по формуле

Таким образом, при качении колесной пары по рельсам без скольжения ее обобщенные координаты и скорости ( ,  ,  ,  ), кроме уравнения (10.1), должны удовлетворять еще двум уравнениям связи:

       (10.11)

Найдем решение этих уравнений, для этого продифференцируем второе уравнение в системе (10.11) и подставим в него   из первого уравнения

   (10.12)

Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой  . Период колебаний определяется как

.                                   (10.13)

Т. е. при отклонении колесная пара совершает гармонические колебания относа от среднего положения.

Одновременно с этим согласно второму уравнению системы (10.11) происходят колебания виляния

.                                        (10.14)

Решение уравнения (10.12) (закон колебаний относа) имеет вид:

.                                     (10.15)

Закон колебаний виляния согласно уравнению (10.14)

  .      (10.16)

Сравнив выражения (10.15) и (10.16), видим, что при чистом качении вдоль пути колесная пара совершает извилистое движение относа и виляния с одинаковой частотой   и со сдвигом по фазе на 90^о. Длина волны относа или виляния определяется по формуле

.                             (10.17)

Из полученного выражения видно, что   не зависит от скорости  , а зависит только от параметров колесной пары и пути ( ,  и  ).