Материал: 1116

откладывают отрезки, изображающие интервалы наблюдаемых отклонений, и на этих отрезках, как на основании, стоят прямоугольники с высотами, равными эмпирическим частотам mэсоответствующего

интервала. В результате получается ступенчатый график, состоящий из прямоугольников, который и называется гистограммой (рис.3). Частота mэ– это суммарное число наблюдений (показаний миниметра) в данном

i

интервале mэ 1 ni . (ni – показания миниметра в каждом интервале).

Очевидно, сумма эмпирических частот всех интервалов должна быть равна общему числу наблюдений (объему выборки N).

Совокупность фактических значений погрешностей хi установки резца на размер Х с соответствующими частотами mэ, полученная в

результате наблюдений и изображенная в виде гистограммы, образует эмпирическое распределение.

Рис.3. Гистограмма и выравнивающая её кривая распределения погрешностей установки инструмента на размер

6.4. Выравнивание эмпирического распределения

Во всяком эмпирическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено. Поэтому при его обработке приходится решать задачу, как подобрать плавную теоретическую (выравнивающую) кривую распределения, наилучшим образом описывающую эмпирическое распределение. Такая задача называется выравниванием (сглаживанием). Методика решения её определяется закономерностями, характерными для предполагаемой теоретической кривой. Наиболее часто рассеивание случайных величин описывается кривой нормального распределения. Поэтому здесь и далее будем предполагать, что распределение погрешностей установки резца на размер подчиняется нормальному закону.

Эмпирическое распределение, полученное нами, представлено интервальным вариационным рядом, изображенным в виде гистограммы. Требуется выравнять эту гистограмму с помощью нормального закона, который определяется двумя параметрами х и (см. выражения (1), (2)). Тогда задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе этих параметров: они подбираются так, чтобы сохранилось математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение погрешности полученного эмпирического распределения. Исходя из этого условия, числовые характеристики теоретической выравнивающей кривой распределения будут выражаться следующими формулами:

– выборочное среднее значение погрешности (математическое ожидание случайной величины)

частоты интервала к общему числу наблюдений, pi mЭ / N ; к– количество интервалов.

интервалов;

– среднее квадратическое отклонение погрешности

S ,

где S – статистическая дисперсия (мера рассеивания) погрешности

рассчитанным х и на границах интервалов. При этом плотность распределения случайной величины хi представляется в виде

f (х) = f (t) / ,

где f(t) – нормированная плотность распределения (плотность вероятности нормального распределения)

Для определения f(t) переменные в формуле (1) заменяются

выражением t = хi х (нормированное отклонение случайной величины).

Значения f(t) для различных t приведены в прил.2. Следует иметь в виду, что нормированная плотность нормального распределения – четная функция, т.е. f (–t) = f (t).

определения mТ эта величина умножается на величину интервала h и на общее число наблюдений N. Это теоретическая возможная частота mТ будет равна:

mТ = N h f(t).

При округлении вычисленных значений mТ следует обращать внимание на то, чтобы соблюдалось равенство сумм эмпирических и

КK

теоретических частот: mЭ mT . Расчет теоретической кривой

1 1

распределения рекомендуется свести в табл. 3 прил. 1.

Затем на графике гистограммы строится выравнивающая её кривая распределения (см. рис.3). Из сопоставления их видно, что теоретическая кривая сохраняет существенные особенности эмпирического распределения, свободна от неправильностей хода гистограммы, которые, по-видимому, могут быть объяснены действием случайных причин.

6.5.Проверка согласия эмпирического распределения

стеоретическим

Как бы хорошо не была подобрана выравнивающая кривая, между нею и эмпирическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Естественно, возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и вызваны тем, что подобранная нами кривая плохо выравнивает данное эмпирическое распределение? Для ответа на такой вопрос производят проверку согласия (степени близости) эмпирического распределения с теоретическим. Эта проверка может проводится по различным критериям: Колмогорова Р( ), Пирсона х2, Смирнова и др.

По простоте вычислительных работ и точности результата лучшим является критерий согласия Колмогорова. Проверка необходима, чтобы быть уверенным в возможности использования для эмпирического распределения числовых характеристик, значения которых определены по формулам, справедливым для предполагаемого теоретического распределения. Особенно это относится к предельной погрешности lim .

Для определения критерия согласия Колмогорова строится эмпирическая FЭ (х) и предполагаемая теоретическая интегральная FT (х) функции распределения погрешностей хi.

Эмпирическая функция распределения (кривая накопленных частостей) строится на основании полученного интервального вариационного ряда. Причем верхним границам интервалов соответствуют

прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются интервалы, а по оси ординат – соответствующие им накопленные частости, полученные точки соединяются отрезками (рис.4).

Выше мы предположили, что распределение погрешностей установки на размер Х подчиняется нормальному закону. В этом случае предполагаемую теоретическую функцию распределения FT х можно определить по выражению

FT x 0,5 Ф t 0,5 Ф хi х ,

где t – нормальное отклонение случайной величины, t = хi х ;

Ф(t) – функция Лапласа (интеграл вероятности).

Рис.4. Эмпирическая (1), и теоретическая (2) функции распределения погрешностей установки инструмента на размер и границы

99,7 %-й доверительной области

Значения Ф(t) приведены в прил. 3. При определении FТ(х) знак плюс берется, если разница хi х положительна, и наоборот. Расчеты сводятся в