Реферат: Волновое уравнение в математике

Оценим разность:

Отсюда получаем:

Что доказывает наше утверждение, если положить:

4. Формулы волнового уравнения

Волновое уравнение в случае одной, двух или трех пространственных переменных записывается так:

=,

= (+),

= (+ +).

Решением формул для волнового уравнения во всех трех случаях являются следующие формулы:

1.      Формула Даламбера (одномерное пространство)

Ф(x,t)=+

2.      Формула Пуассона (двумерное пространство)

Ф (x,y,t) = [ () + +]

3.      Формула Кирхгофа (трехмерное пространство)

Ф (x,y,z,t) =

[ (

 t²d) +²d]

4.1 Формула Пуассона

Рассмотрим волновое уравнение

 (1)

И будем искать его решение, удовлетворяющее условиям

 (2)

Будем предполагать, что φ₀ (х, у, z) непрерывна вместе со своими производными до третьего порядка, а φ₁ (х, у, z) - до второго порядка включительно во всем пространстве.

Покажем сначала, что интеграл

 (3)

Является решением волнового уравнения (1).

Заметим, что координаты точек сферы S_at могут быть выражены по формулам:

Запишем их в виде:

Где угол  меняется от 0 до  и угол  от 0 до 2??. Когда точки (??,??,??) описывает сферу S_at, точка (α,β,γ) описывает сферу S₁ радиуса, единице, с центром в начале координат.

Приводим интеграл (3) к виду

 (4)

Отсюда легко заметить, что функция u (x,y,z,t) имеет непрерывные производные до k-го порядка, если функция φ (??,??,??) непрерывна вместе со своими производными k-го порядка.

Из формулы (4) находим

Или, возвращаясь к первоначальной области интегрирования

 (5)

Дифференцируя теперь выражение (4) по t, получим

 (6)

Вычислим  с применением формулы Остроградского и получим

 (7)

Где

D-шар радиуса r=at с центром в точке М (x,y,z).

Полагая

Будем иметь

Дифференцируя это выражение по t будем иметь

Нетрудно видеть, что

 (8)

В самом деле, переходя в интеграле I к сферическим координатам (ρ,θ,?) с центром в точке M (x,y,z), имеем

Дифференцируя по t, получим

Сравнивая равенства (5), (7) и (8), мы видим, что функция u (x,y,z,t) удовлетворяет волновому уравнению (1).

Из формул (4) и (6) непосредственно следует, что функция u удовлетворяет начальным условиям

 (9)

Если u есть решение волнового уравнения, то легко видеть, что функция

Будет также решением уравнения (1) с начальными данными условиями

 (10)

Взяв теперь в случае начальных условий (9) за φ (x,y,z) функцию φ₁ (x,y,z), а в случае начальных условий (10) - функцию φ₀ (x,y,z) и сложив построенные таким образом решения, получим решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Таким образом, решение волнового уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2), запишем в виде

 (11)

Это называется формулой Пуассона.

4.2 Формула Кирхгофа

Формула Кирхгофа - аналитическое выражение для решения гоперболического уравнения во всем трехмерном пространстве. Методом спуска из него моно получить решение двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Даламбера) уравнения.

Рассмотрим уравнение

где u=u (x,t) и f=f (x,t) определены на (x,t) Rⁿ х R⁺, а  - оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a в моменты времени t>0. Для того, что бы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства в момент времени t=0.

Тогда обобщенная формула Кирхгофа дает решение этой задачи в трехмерном случае:

Где поверхностные интегралы берутся по сфере S: |x-y| = at.

Заключение

В работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны.

Работа начинается с рассмотрения методов распространения волн, формула Даламбера однородного и неоднородного уравнения, задача Коши и выведение и применение формул Пуассона и Кирхгофа. Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Список литературы

1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский "Уравнения математической физики", Москва, 1966 г.

. Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов "Уравнения в честных производных математической физики", Москва, 1970 г.

. Владимиров В.С. "Уравнения математической физики", Физматлит. 2000 г.

4. А.М. Ильин "Уравнения математической физики: учебное пособие", Москва, Физматлит, 2009

5. С.К. Годунов "Уравнения математической физики" Москва, "Наука" 1971 г.

7. http://umf. kmf. usu.ru/index. php? id=18&id1=0 <http://umf.kmf.usu.ru/index.php?id=18&id1=0>