Материал: Векторное исчисление в теоретической механике

Векторное исчисление в теоретической механике

Курсовая работа

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Содержание

1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ3

. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

2.1 Векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Векторы скорости и ускорения точек тела

.2 Производные от единичных векторов подвижных осей (формулы Пуассона)

2.3 Полная и локальная производные от вектора (формула Бура)

3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

3.1 Элементарная работа

.2 Теорема о сложении скоростей (правило параллелограмма скоростей)

.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Литература

1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Скалярные и векторные величины. Физические величины, которыми оперируют в механике, разделяют на скалярные и векторные. Для задания скалярной величины требуется одно вещественное число. К скалярным величинам относятся, например, масса тела, его объем, время, коэффициент трения и т. п.

Векторная величина помимо численного значения характеризуется также направлением действия и точкой приложения. Примером такой величины могут служить сила, скорость, ускорение и т. д.

Рис. 1.1Скалярные величины обозначают обычными прописными или строчными буквами латинского и греческого алфавитов: А, В, Р, F, m, р, v, φ, Ω и т. д.

Графически векторную величину изображают в виде стрелки (рис.1.1). Длина этой стрелки в некотором масштабе характеризует численное значение векторной величины. Линию, вдоль которой направлен вектор, называют линией его действия. В литературе вектор принято обозначать жирной буквой - А, В , Е, F, обычной буквой с чертой над ней - .., либо двумя буквами с чертой над ними -  и т. д. Первая буква означает начало вектора, вторая - его конец. На рис. 1.1 изображен вектор , линией действия которого является прямая п - п, точкой приложения - точка О.

Численное значение вектора называют его модулем, обозначают либо обычными буквами - А, В, С, Д, либо символом абсолютной величины - .

По возможности перемещения векторов в пространстве последние делятся на свободные, скользящие и связанные.

Свободный вектор может быть перенесен в любую точку пространства либо приложен к любой точке тела при сохранении направления его действия (т. е. параллельно самому себе). Пример свободного вектора - вектор пары сил. Два свободных вектора считают равными, если они имеют одинаковую численную величину (одинаковые модули) и направление.

Вектор называют скользящим, если его начало может быть перенесено в любую точку на линии его действия. Два скользящих вектора считают равными, если они имеют одинаковые модули, направления действия и общую линию действия.

Связанный вектор приложен к определенной точке пространства или тела и не может быть перенесен в иную точку без нарушения его смысла. Так, при свободном движении тела некоторая его точка имеет определенную, только ей присущую скорость, вектор которой не может быть оторван от этой точки.

Сложение и вычитание векторов. Суммой двух векторов называют вектор, представляющий собой диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах (рис.1.2):

(1.1)

О векторе  говорят, что он получен в результате сложения векторов  и .

Если угол между сагаемыми векторами  и  равен α, то модуль вектора  подсчитывают, например, как сторону ОС треугольника ОАС по теореме косинусов:

(1.2)

Разностью двух векторов  и  служит вектор , который в сумме с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор  (рис.1.3):

.(1.3)

Модуль уменьшаемого вектора:

(1.4)

Сложение и вычитание векторов называют геометрическим или векторным - в отличие от сложения алгебраических величин. Существует два правила геометрического сложения нескольких векторов и получения результирующего. Пусть необходимо сложить векторы  и получить результирующий вектор .

Рис.1.2                                                            Рис. 1.3

Сложение по правилу параллелограмма (рис.1.4). Складывая по правилу параллелограмма векторы  и , получим результирующий вектор . Затем складываем аналогично векторы  и , получая результирующий вектор . Наконец, складывая векторы  и , получим результирующий вектор . Таким образом, правило состоит в последовательном попарном сложении слагаемых векторов.

Рис. 1.4                                                              Рис. 1.5

Сложение по правилу многоугольника (рис.1.5). К концу первого вектора  присоединяем второй , затем к концу вектора  присоединяем вектор  и т. д. Результирующий вектор  получим, проведя стрелку из начала первого вектора  в конец последнего.

Векторная формула суммы n векторов имеет вид:

(1.5)

Аналитическая форма записи вектора. Проекция вектора на ось. Совместим линию действия вектора  с некоторой осью v, на которой выберем положительное направление отсчета. Это направление покажем при помощи единичного вектора  (рис.1.6), который называют также ортом оси v. Модуль орта || = l. Вектор  в этом случае можно записать как

 = Аv ,(1.6)

где Аv - алгебраическое значение вектора, т.е. его величина, взятая со знаком «плюс» или «минус».

Знак «плюс» берут, если направление вектора положительное, т.е. совпадает с направлением орта оси (рис.1.6,а), а «минус» - в противном случае (рис.1.6,б)

Рис.1.6                                                             Рис.1.7

Пусть дан вектор , линия действия которого пересекается с некоторой осью v (рис.1.7). Опустим перпендикуляры из начала О и конца  вектора  на ось v. Отрезок прямой О1Р1 взятый со знаком «плюс» или «минус», и будет проекцией вектора  на ось v. Знак «плюс» берут в случае, если вектор  совпадает с направлением оси, и «минус» - если вектор имеет противоположное направление.

Для вычисления проекции необходимо знать угол между вектором  и положительным направлением оси. Этот угол можно определить, если провести из начала О вектора линию Ov', параллельную оси v так, чтобы направленный отрезок  указывал на положительное направление. Если из конца Р вектора  опустить перпендикуляр на линию Ov' , то отрезок ОР' будет проекцией вектора на линию Ov'' и очевидно, что О1Р1 = ОР'.

Из треугольника ОРР' найдем, что

Таким образом,

Аv = А cos α(1.7)

где А - модуль вектора .

Если угол 0 ≤ α < π/2, то проекция Аv , положительна. При α = π/2 Аv= 0. Если же π/2 < α ≤ π, то проекция Аv , отрицательна.

Направленный отрезок  можно записать в виде вектора, исходя из предыдущего определения:

 (1.8)

Декартова прямоугольная система координат. Три взаимно перпендикулярные оси х, у, z (рис.1.8) образуют декартову прямоугольную систему координат. Имеется две системы прямоугольных координат - правая и левая.

Для правой системы координат поворот оси х на 900 до совмещения ее с осью у виден со стороны оси z против часовой стрелки (рис.1.8.а), а для левой - по часовой (рис.1.8.б). Аналогично, справедливо и при повороте оси у до совмещения ее с осью z, а также оси z, до совмещения ее с осью х.

Положительное направление осей задают при помощи единичных векторов - ортов осей. Орт оси х обозначают через , орт оси у - через  и орт оси z - через . Любой пространственный вектор может быть разложен по векторам базиса , , , т.е для любого вектора  существует, и притом только одна, упорядочная тройка чисел (xo, yo, zo) такая, что

.

Рис.1.8

Правила действия над векторами, заданными своими координатами. Пусть вектора  и  заданны своими координатами;

 и .

) Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих слагаемых:

.

.

) Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат данного вектора на это число:

.

) Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

.

Разложение вектора по осям декартовой прямоугольной системы координат. Совместим начало системы координат с началом вектора  (рис.1.9) и проведем через его конец плоскости, параллельные плоскостям координат Оху, Oyz, Oxz.

Последние отсекут на осях координат отрезки, которые, очевидно, являются проекциями вектора  на оси координат. Если вектор  составляет с осями координат углы α, β и γ, то проекции

Ах=А cos α, Ау =А cos β,Аz = А cos γ.(1.9)

Составляющие вектора  по осям координат:

Геометрическая сумма их дает вектор

. (1.10)

Рис.1.9

Формула (1.10) представляет собой разложение вектора  на составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат. Три составляющие вектора  взаимно перпендикулярны, а отрезок ОР = А служит диагональю прямоугольного параллелепипеда, поэтому

Модуль вектора :

  (1.11)

Косинусы углов, которые вектор составляет с координатными осями:

 (1.12)

Возводя равенства (1.12) в квадрат и складывая, получим, что углы α, β и γ связаны соотношением

. (1.13)

Отсюда следует, что независимыми являются любые два угла. Третий найдется из равенства (1.13).

Аналитический метод определения результирующего вектора суммы п векторов (приложенных к одной точке). Разложим в формуле (1.5) каждый слагаемый вектор по осям декартовой прямоугольной системы координат:

Учитывая, что орты  входят во все формулы разложения, вынесем их за знак сумм, получим

  (1.14а)