Материал: Векторное исчисление в теоретической механике

С другой стороны, результирующий вектор  можно также разложить по осям координат:

 (1.14б)

Сопоставляя формулы (1.14а) и (1.14б), получим, что проекции результирующего вектора можно вычислить по проекциям составляющих векторов по формулам

 (1.15)

Модуль результирующего вектора:

 (1.16)

а его направление по отношению к осям координат - при помощи направляющих косинусов:

(1.17)

Скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение двух векторов представляет собой скалярную величину, равную произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними. Обозначают скалярное произведение так:

 (1.18) где С - скалярная величина.

Согласно определению

С = А*В cos α, (1.19) где α - угол между векторами  и .

Если α = 0, то С = А*В, а при α = π С = - А*В. Отсюда, в частности, следует, что , получаем

 (1.20)

Если же α = π/2, то С= 0, то

. (1.21)

Скалярные произведения одноименных ортов осей, прямоугольной

декартовой системы координат, равны единице, а разноименных - нулю.

Из формулы (1.18) следует, что

 (1.22)

Скалярное произведение обладает свойством коммутативности

а также свойством дистрибутивности:

.

При умножении скалярного произведения на скалярный множитель достаточно умножить на него один из векторов:

.

Векторное произведение двух векторов. Векторное произведение двух векторов обозначают так: . Векторное произведение двух векторов (рис.1.10) представляет собой вектор:

. (1.23)

Модуль вектора  определяют по формуле

С= АВ sin а,  (1.24)

где А и В - модули векторов  и .

Численное значение  равно площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Действительно (рис.1.11), величина

В sin а = h

есть высота параллелограмма, если за основание принять вектор , и наоборот.

Поэтому

А В sin a= S ■خہرآ.

ذèٌ.1.10                                                       ذèٌ.1.11

آهêٍîً  èىههٍ يàïًàâëهيèه â ٌٍîًîيَ, îٍêَنà ïîâîًîٍ âهêٍîًà  â ٌٍîًîيَ âهêٍîًà  ïî يàèىهيüّهىَ ïٍَè ïًîٍèâ ÷àٌîâîé ًٌٍهëêè: ‎ٍî يàïًàâëهيèه â ىهُàيèêه îلû÷يî ïًèيèىà‏ٍ çà ïîëîوèٍهëüيîه (ًèٌ.1.10).

آهêٍîًيîه ïًîèçâهنهيèه ïàًàëëهëüيûُ âهêٍîًîâ ًàâيî يَë‏: , هٌëè , ٍàê êàê ïًè ‎ٍîى à = 0 è sin à = 0.

 (1.25)

دًè ïهًهىهيه ïîًےنêà ٌîىيîوèٍهëهé âهêٍîًيîه ïًîèçâهنهيèه ىهيےهٍ ٌâîé çيàê:

 (1.26)

فٍî يهًٍَنيî âèنهٍü èç ًèٌ. 1.10.

إٌëè âهêٍîًû  è  âçàèىيî ïهًïهينèêَëےًيû, ٍî sin 900 = 1 è . دàًàëëهëîمًàىى يà ًèٌ. 1.11 ïًè ‎ٍîى ïًهâًàùàهٌٍے â ïًےىîَمîëüيèê.

آ ٌîîٍâهٌٍٍâèè ٌ îïًهنهëهيèهى âهêٍîًيîمî ïًîèçâهنهيèے نâَُ âهêٍîًîâ è همî ٌâîéٌٍâîى (1.26) يهًٍَنيî ïًîâهًèٍü, ÷ٍî

è . (1.27)

دٌٍَü âهêٍîًû  è  çàنàيû ٌâîèىè ًàçëîوهيèےىè ïî îٌےى êîîًنèيàٍ:

زîمنà

. (1.28)

زàê êàê

,

ٍî

 (1.29)

آهêٍîًيîه ïًîèçâهنهيèه îلëàنàهٍ ٌâîéٌٍâîى نèًٌٍèلٍَèâيîٌٍè:

.

دًè َىيîوهيèè âهêٍîًيîمî ïًîèçâهنهيèے يà ٌêàëےًيûé ىيîوèٍهëü نîٌٍàٍî÷يî َىيîوèٍü يà يهمî îنèي èç ٌîىيîوèٍهëهé

.

رىهّàييîه ïًîèçâهنهيèه âهêٍîًîâ. رىهّàييîه âهêٍîًيîه ïًîèçâهنهيèه ïًهنٌٍàâëےهٍ ٌîلîé ٌêàëےًيَ‏ âهëè÷èيَ:

 (1.30)

×ٍîلû âûےٌيèٍü مهîىهًٍè÷هٌêèé ٌىûٌë ٌىهّàييîمî ïًîèçâهنهيèے, ïîًٌٍîèى يà ïهًهىيîوàهىûُ âهêٍîًàُ ïàًàëëهëهïèïهن (ًèٌ.1.12). خلîçيà÷èى ÷هًهç