Реферат: Теория поверхностей

В XX в. стали разрабатываться также проективная дифференциальная геометрия и аффинная дифференциальная геометрия, изучающие свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при проективных, соответственно афинных преобразованиях, подобно тому как классическая дифференциальная геометрия исследует свойства, сохраняющиеся при любых движениях. Одним из создателей современной проективно-дифференциальной геометрии был профессор Московского университета и глава большой школы советских геометров Сергей Павлович Фиников (1883-1964), получивший ряд фундаментальных результатов и в классической дифференциальной геометрии. Этой школой теперь руководит ученик Финикова -Герман Федорович Лаптев.

Глава 2. Применение темы «Теория поверхностей. Из теории развития дифференциальной геометрии» в школе

Тема урока: «Площади поверхностей тел вращения: цилиндра, конуса, усечённого конуса».

Класс: 11

Цель урока: обобщить и систематизировать теоретические знания по теме и применить их при решении изобретательских задач, задач ситуаций, практико-ориентированных задач, экзаменационных задач.

Цели:

Образовательные: закрепить формулы площадей боковой и полной поверхности тел вращения, познакомить учащихся с исторической справкой по теме, проверить умение решать практико-ориентированные задачи и экзаменационные задачи повышенной сложности по теме;

Развивающие: развитие творческого воображения, творческого стиля мышления при решении изобретательских задач, развитие пространственного мышления, умение анализировать и систематизировать материал;

Воспитательные: прививать интерес к учебному материалу, воспитывать трудолюбие, профессиональную направленность учащихся средствами учебного материала.

Ход урока.

.Творческая разминка.

Задание. Постарайся придумать такую геометрическую фигуру, которую никто другой не сможет придумать. Сделай её интересной, добавляя к ней новые идеи. Придумай название фигуры и напиши его под картинкой.

Название картинки Название картинки Название картинки

. Доклад «Из истории геометрии».

Изучение теории поверхностей в геометрии связано с решением определенных практических задач, в частности с запросами математической картографии - учения о свойствах разных видов картографических проекций, т. е. о способах изображения на плоскости всей или части земной поверхности, рассматриваемой как сфера или эллипсоид вращения. Необходимость в географических картах ощущалась еще в древности. Стереографическая проекция была применена К. Птолемеем в его «Географии». Новые методы проектирования сферы на плоскость были открыты в XVI в. в период больших географических открытий. Особенно важное значение имела «Карта мира», опубликованная в 1569 г. фламандским ученым Герхардом Кремером (1512-1594), известным в науке под латинизированным именем Меркатора. Предложенная им математически обоснованная проекция (конформная цилиндрическая «проекция Меркатора») поныне служит для составления морских карт. Всеобщей известностью пользовался сборник карт европейских стран Меркатора, названный им «Атласом» и изданный в 1595 г. Математической картографией занимался впоследствии и Эйлер.

Определение поверхности как границы тела восходит к Аристотелю. Древнегреческие математики рассматривали поверхность не как самостоятельный геометрический образ, а в тесной связи с самим телом, ею ограниченным. Призма и пирамида, цилиндр и конус в «Началах» Евклида, как и коноиды и сфероиды (эллипсоиды, параболоиды и двуполостные гиперболоиды) вращения, в трудах Архимеда - это не поверхности, а тела. Лишь в XVIII в., с созданием пространственной аналитической геометрии, понятие поверхности становится по-настоящему автономным, независимым от понятия тела. Аналогично линии, поверхность определяется как самостоятельный геометрический образ, как геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих тому или иному уравнению.

Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем знания по изученной теме «Площади поверхностей тел вращения: цилиндра, конуса, усечённого конуса». Сегодня на уроке вы будите решать творческие, практико-ориентированные и экзаменационные задачи. Для решения задач необходимо знание формул.

. Устный программированный опрос теории. Знаешь ли ты формулы?

Задание. Установите соответствие.

№ формулы

Ответ: 1 → 14; 2 → 10; 3 → 13; 4 → 8; 5 → 11; 6 → 9; 7 → 12.

. Задача - ситуация. На нашем пути встречаются две птицы-спорщицы: мама и дочка. Мама летит высоко, дочка пониже. Пролетая над нашей улицей, мама видит три больших круга и один маленький, а дочка ей возражает, что ты мама, никакие это не круги вовсе, а прямоугольник, равнобедренный треугольник и трапеция. Кто из них прав? Какие это дома они видят?

Ответ. Цилиндр: сверху круг, сбоку прямоугольник, конус: сверху круг с центром, сбоку равнобедренный треугольник, усечённый конус: сверху два концентрических круга большой и маленький, сбоку равнобедренная трапеция.

Изобретательская задача. Хозяйка варит варенье и раскладывает в банки разных размеров. Но вот беда - крышек для этих банок нет. Есть мастер, который может сделать одинаковые крышки, но отверстия-то в банках разные. Что за крышку хозяйка должна заказать мастеру, что бы ею можно было закрыть любую банку с вареньем? Подсказка: все крышки можно объединить в одну, такую, что она закроет все банки. Показать наглядно, построить такую крышку, как пирамиду.

Ответ. Конус или усечённый конус.

Задача на смекалку. Перед вами восемь равных цилиндров. Семь из них с заштрихованным верхним основанием - неподвижны, а восьмой катится по их боковой поверхности. Сколько оборотов он сделает, обойдя все неподвижные цилиндры один раз, вернувшись в исходную точку?

Подсказка: определите радиус внешнего круга, по которому катится восьмой цилиндр, вычислите длину его окружности и длину окружности восьмого цилиндра, а затем разделите первый результат на второй. Можно выполнить практическую работу. Ответ. 3.

. Контроль. Программируемая самостоятельная работа. Номер задачи совпадает с номером правильного ответа.

Задача №1. В деревне Маклаки приступили к реставрации церкви. Рабочий оштукатуривает вручную колонну. Сколько он заработает, если колонна имеет высоту 5,5 м, радиус основания 0,5 м, а норма расценки 200 руб. на 1 м2?

Ответы. 1) 3454 руб; 2) 1727 руб; 3) 4540 руб.

Задача №2. В Новослободский дом культуры привезли и установили ёлку, высота которой 4м, диаметр основания 2м. Дизайнеры решили украсить ёлку новогодними шарами. Сколько надо для украшения ёлки шаров, если на 1 м2 приходится 5 шаров?

Ответы. 1)70 шаров; 2) 65 шаров; 3) 90 шаров.

Задача №3 (ЕГЭ). Равнобочная трапеция с основаниями 15см и 25см и высотой 12см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения?

Ответы. 1) 224π см2; 2) 138π см2; 3) 672π см2.

Домашнее задание. Выбери себе задачу и творческое задание из предложенных.

Задача №1. Рабочий оштукатуривает вручную колонну. Сколько времени ему потребуется, что бы оштукатурить колонну высотой 6 м., диаметром 1 м., соблюдая норму времени: 0,79 ч на 1 м2?

Ответ. 14,2 ч.

Задача №2 (№572 из учебника). Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того. Чтобы покрасить с внешней и внутренней сторон 100 таких вёдер, если на 1 м2 требуется 150 г краски? (Толщину стенок вёдер в расчёт не принимать.)

Ответ.2,55π кг≈8,011кг.

Задача №3 (ЕГЭ). Равнобочная трапеция с основаниями 10см и 18см и высотой 3см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения?

Ответ. 138π см2.

Творческое задание.

Придумайте задачу по теме «Площадь поверхности цилиндра, конуса, усечённого конуса» и решите её.

Составьте кроссворд по теме.

дифференциальный геометрия математический пространственный

Список литературы

1.      И.Л. Бродский, Л.О. Кордемская. Решение экзаменационных задач повышенной сложности по геометрии. 11 класс. Москва АРКТИ 2002г.

.        Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1983.

.        И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва «Просвещение» 1989г.

.        Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 2009.

.        Л.А. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11 класс. Москва «Просвещение» 2009г.

.        В.А. Яровенко. Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход. 11 класс. Москва ВАКО 2006г.