Материал: Розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість
4. Проектний розрахунок стиснутих стержнів на стійкість. |
|
|||
Умова стійкості центрально стиснутого стержня має вигляд |
|
|||
|
F |
≤[σ] |
, |
(10) |
|
A |
|||
|
ст |
|
||
де [σ]ст - допустиме напруження стійкості. Це напруження виражають через допустиме |
|
напруження на стиск [σ ]: |
|
[σ]ст =ϕ[σ], |
(11) |
де ϕ - коефіцієнт повздовжнього згину ( 0 ≤ ϕ ≤ 1), що залежить від матеріалу та гнучкості
λстержня. Ці коефіцієнти визначаються із таблиці, наведеної у додатках.
Зврахуванням виразу (10.11) умова стійкості (10) набирає вигляду
F |
|
≤ [σ ] . |
|
ϕ |
A |
||
|
Виходячи з умови стійкості, можна розв’язувати наступні типи задач: а) перевіряти стійкість заданого стержня (формула (12)); б) підбирати величину допустимої стискуючої сили за формулою
Fдоп =ϕ A [σ ]
в) підбирати необхідні розміри поперечних перерізів стиснутих стержнів за формулою
A ≥ ϕ F[σ ]
(12)
(13)
(14)
При розв’язуванні задач останнього типу використовують метод послідовних наближень, оскільки у формулі (14) є дві невідомі – шукана площа поперечного перерізу A , та
коефіцієнт ϕ. (Коефіцієнт ϕ знаходиться із таблиць в залежності від λ=µil . Якщо розміри
поперечного перерізу невідомі, то невідомі і радіуси інерції перерізу “ i “, а отже відповідно і гнучкість λ та коефіцієнт ϕ).
З питанням підбору розмірів поперечного перерізу центрально стиснутого стержня тісно пов’язане питання раціональної форми поперечних перерізів. Небезпека втрати стійкості в стиснутих стержнях тим менша, чим менші їх найбільші гнучкості λmax , тобто
чим більші при фіксованій величині площі поперечних перерізів A радіуси інерції “ i “ поперечного перерізу. Матеріал в таких перерізах повинен бути розміщений якомога далі від центра перерізу. Цим вимогам найкраще відповідають порожнисті всередині перерізи з можливо тонкою стінкою.
Приклад 1. Підібрати із умови стійкості стержня, що F зображений на рис. 6, розміри прямокутного поперечного перерізу (з відношенням сторін h b =2 ).
|
|
|
y |
Матеріал – дерево: [σ ]=3 кН см2 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Розміри поперечного перерізу підбираються з умови |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(14) методом послідовних наближень: |
|
|||||||||||
l =1м |
h |
|
|
z |
I |
|
наближення: |
|
задаємо |
початкове |
значення |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ϕп = |
0 +1 |
=0.5. З |
умови (14) |
визначаємо |
величину |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
площі в першому наближенні |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A ≥ |
F |
|
= |
20 кН |
|
=13.3 см2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn [σ ] |
0.5 3 кН см2 |
||||||||
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
µ = 2 |
|
рис. 6 |
Визначаємо |
розміри |
перерізу |
b1 , h1 в |
першому |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
наближенні: |
|
A =b h |
≥ 13.3 см2 , |
де h b =2 , |
або |
h =2 b . Тобто |
|
2 b2 |
≥ 13.3 см2 . Звідси |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
≥ 2.6 см , |
|
h =2 b |
≥ 5.2 см2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Визначаємо мінімальний радіус інерції перерізу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
imin =iy = |
|
J y |
= |
|
|
|
h b |
= |
2.62 |
=0.75 см . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
12 b h |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Знаходимо максимальну гнучкість |
|
|
µl |
|
|
2 100 см =267 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λmax = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
imin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.75 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Із таблиць коефіцієнтів |
|
|
ϕ для цієї гнучкості (якщо матеріал – дерево) знаходимо кінцеве |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значення |
ϕ |
в першому наближенні |
|
ϕк |
≈0 . Визначаємо різницю |
|
|
ϕк −ϕп |
|
= |
|
0 −0.5 |
|
=0.5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки різниця велика (більше 0.1), то без перевірки умови стійкості (12) переходимо до II |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наближення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2п |
|
|
ϕп +ϕк |
0.5 +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
II |
наближення: |
|
задаємо |
початкове |
|
наближення |
= |
|
1 |
1 |
= |
|
|
|
=0.25 |
(подальша |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
процедура повторює процедуру I наближення). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знаходимо A |
|
|
≥ |
|
|
|
F |
|
|
|
= |
|
20 кН |
|
|
|
|
=26.7 см2 |
. 2 b2 |
≥ 26.7 см2 . Тоді |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ϕ2n [σ ] |
0.25 3 кН см2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
b |
≥ 3.65 см , |
h |
|
=2 b |
≥ 7.30 см2 . |
|
|
Радіус інерції |
i |
min |
= |
3.652 |
=1.11 см. |
Гнучкість |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 100 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
λmax = |
=180 . Із таблиці визначаємо ϕ2к |
=0.10 . Різниця |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.11 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ϕ2п −ϕ2к |
|
= |
|
0.25 −0.1 |
|
|
=0.15 > 0.1 . Виконуємо наступне наближення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
III наближення: ϕ3п = ϕ2п +ϕ2к |
= 0.25 +0.1 =0.175. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
20 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=38.0 см2 . |
b |
≥ 4.36 см , |
h =8.72 см2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
0.175 3 кН см2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
imin = |
4.362 |
=1.584 см. λmax = |
2 100 см |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=126 . |
ϕ3 =0.20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
1.584 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Різниця |
|
|
ϕ3п −ϕ3к |
|
= |
|
0.175 −0.20 |
|
=0.025 < 0.1. |
Обчислення |
припиняємо. |
Перевіряємо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виконання умови стійкості (12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
≤ |
[σ |
] |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
≤ 3 |
; |
2.61 кН см2 < 3 кН см2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕк |
A |
|
0.20 38.0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умова стійкості виконується.
Отже, необхідні мінімальні розміри поперечного перерізу стержня: h =8.72 см , b =4.36 см.
|
x |
x |
|
|
F |
F |
|
|
|
|
l 2 |
l = 4 м |
a) |
||
|
|
l |
2 |
|
|
y |
|
|
|
z |
y |
|
|
|
|
µy =1, 26 y |
z |
||
µz =1,35 |
|||
|
|
y1 y |
|
|
|
c1 |
z1 |
2δ |
b |
||
|
|
c0 |
б) |
|
|
||
|
|
|
z |
Приклад 2. Підібрати з сортаменту і раціонально розмістити поперечний переріз стійки довжиною l =5, 2 м, яка складається з
двох нерівнобоких кутників і стискається осьовою силою F = 470 кH (рис. 7 а).
Матеріал, з якого виготовлені кутники – сталь з допустимим напруженням на стиск
[σ ]=16 кН
см2 . Схема закріплення стійки
показана на рис. 7 а. Розмір δ прийняти рівним товщині полки d .
Встановлюємо коефіцієнти приведеної довжини для обох головних площин: при згині відносно осі y (в площина Oxz ) µy =1, 26 ,
при згині відносно осі z (площині Oxy )
µz =1, 35 . |
|
Оскільки в нас µz µy , |
переріз необхідно |
розмістити так, щоб було iz |
iy (див. рис. 7 б). |
Це означає, що величина критичної сили буде максимальною, якщо I y Iz , що буде у
випадку розміщення осей, показаному на рисунку .
Гнучкості стрижня λy і λz виражаються через
d |
|
|
|
|
|
невідомі поки що головні радіуси інерції iy і |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
iz |
формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
λy |
= |
µyl |
= |
1, 26×520 |
= |
655, 2 |
, |
|||
|
рис. 7 |
|
|
|
|
|
iy |
|
|
iy |
iy |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
λz |
= µzl = |
1,35×520 = 702 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|
iz |
|
|
|
iz |
|
|
|
|
I наближення: скористаємося формулою (14), прийнявши в першому наближенні ϕп = 0, 6 . |
|||||||||||||||||
Знайдемо для одного кутника при [σ ]=16 кН см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A = |
|
470 |
|
= 24,5см2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2×0, 6×16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З таблиці сортаменту підбираємо кутник 160 ×100 ×10 , для якого A = 25, 2см2 , iz |
= 2,34см |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
iy =5,13см, y0 = 2, 28см, , d =10мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді: |
λy |
= 655, 2 |
=127, 7 (iy =iy ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5,13 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz = iz2 |
+b2 = 2,842 +(10 +1−2,88)2 |
=9,17см, |
|
|
λz = |
702 = 76, 6 . |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки гнучкість стояка λy |
λz , подальший розрахунок будемо проводити в площині |
||||||||||||||||
xOz , тобто по λy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблиці коефіцієнтів ϕ знаходимо для λy =127, 7 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ϕ1к = 0, 45 − 0, 45 −0, 40 |
×7, 7 = 0, 412 0, 6 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
II наближення: |
візьмемо значення коефіцієнту ϕ2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ϕ2п = |
ϕп |
+ ϕк |
= |
0, 6 +0, 412 |
= 0,506 . |
|||
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді площа кутника повинна дорівнювати |
|
|||||||
A = |
|
|
|
470 |
|
= 29,03см2 . |
|
|
2 |
×0,506×16 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
З таблиці сортаменту підбираємо кутник 180 ×110 ×10 , для якого A = 28,3см2 , iz1 =3,12см
iy =5,8см, y0 = 2, 44см, , d =10мм. |
|
|
|
1 |
|
|
|
Гнучкість стрижня |
0,52 −0, 45 |
|
|
λy = 655, 2 =113 і ϕ2к = 0,52 − |
×3 = 0,50 , що є близьке до значення ϕ2п |
з |
|
5,8 |
10 |
|
|
точністю до двох знаків після коми. Різниця ϕ2п −ϕ2к = 0.506 −0.50 = 0.006 < 0.1 .
Обчислення припиняємо.
Розміри поперечного перерізу, прийняті в другому наближенні є близькі до оптимальних. Виконаємо перевірку, тобто знайдемо напруження в поперечному перерізі стояка:
σ = 470 =16, 61кН см2 1, 05 [σ] =16,8 кН см2 . 2 ×28,3×0,5
Перевіримо стійкість стояка в площині xOy відносно λz . |
|
702 |
|
|
|||||
Маємо: iz = iz2 +b2 |
= |
3,122 +(10 +1−2, 44)2 =10, 66см і λz = |
|
= 69,8 |
λy . |
||||
10, 06 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Стійкість в площині xOy забезпечена. |
|
|
|
|
|||||
Оскільки λy =113 |
100 , до стержня можна застосувати формулу Ейлера. |
|
|||||||
Знаходимо: |
|
|
|
|
|
|
|||
σ |
к |
=3,14 3,142 ×2 104 |
=15, 44 кН см2 , F =15, 44 ×2×28, 3 =874кН . |
|
|||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
||
1132
Коефіцієнт запасу стійкості буде дорівнювати:
Kст = 874470 =1,86 .