, (29)
которое соответствует значению аргумента .
Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .
Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка:
(30)
с начальными условиями
.
Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:
(31)
где h - шаг интегрирования.
При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (31) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .
3.2 Решение ОДУ методом Эйлера
ОДУ первого порядка (задача Коши):
Отрезок от -2 до 0 с шагом 0,2
Пишем код программы с методом решения в среде MatLab с указанием интервала с шагом и начального приближения. Результат работы программы представлен на рисунке. График показан на рисунке (используется функция inter из задания №2).
Листинг программы:
a=-2;
b=0;
h=0.2;
k=1;Y=[];
y = 0.162;
Y(1)=y;
X = a:h:b;
disp(' x y(x)')
for x = a:h:(b-h)
Y(k+1) = Y(k) + h*dx(x,Y(k));
disp([x, Y(k)])
k=k+1;
end
disp([(x+h), Y(k)])
inter(X, Y)
function [f] = dx( x,y )
f=-1*45*exp(-x^2)/(9+x^2)-2*x*y;
end
Рисунок 9 - Таблица значений после окончания работы программы
Рисунок 10 - График функции
3.3 Решение ОДУ методом Эйлера-Коши
ОДУ первого порядка (задача Коши)
Отрезок от -2 до 2 с шагом 0,4
Пишем код программы метода решения в среде MatLab с указанием интервала с шагом и начального приближения. Результат работы программы представлен на рисунке 11. График показан на рисунке 12.
Листинг программы:
a=-2;%интервал
b=2;
h=0.4;%шаг
k=1;
y=0;
Y=[];
Y(1)=y;
X = a:h:b;
disp(' x y(x)')
for x = a:h:(b-h)
Y(k+1) = Y(k) + h*dx(x,Y(k));
Y(k+1) = Y(k) + 1/2*h*(dx(x,Y(k))+dx((x+h),Y(k+1)));
disp([x, Y(k)])
k=k+1;
end
disp([(x+h), Y(k)])
inter(X, Y)
function [f] = dx( x,y )
f=1/7*(x^5+5*x^4-2*x^3-6*x^2-8*x-8)-y;
end
Рисунок 11 - Таблица значений после окончания работы программы
Рисунок 12 - График функции
Были рассмотрены 2 метода решения ОДУ: Эйлера и Эйлера - Коши. В методе Эйлера происходит движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге касательная находится уже для новой интегральной кривой (что и дало название методу - метод ломаных), таким образом ошибка будет возрастать с отдалением x от x0. То есть метод дает низкую точность. Метод Эйлера-Коши базируется на предыдущем, однако здесь апостериорная погрешность контролируется на каждом шаге вычисления, что повышает точность.
Заключение
Задачи, на которые ответ нужно дать в виде числа, как известно, решаются с помощью математических методов. На сегодняшний день существует три основных группы таких методов: аналитические, графические и численные.
При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. Например, если задача состоит в решении простейших алгебраических, тригонометрических, дифференциальных и т.д. уравнений, то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели.
Преимущество аналитических методов: в результате применения аналитических методов за небольшой отрезок сразу получается точный ответ.
Недостаток аналитических методов: аналитические методы применимы лишь к небольшому числу, как правило, не очень сложных по своей структуре задач. Так, например, до сих пор не удалось решить в общем виде уравнение пятой степени.
Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например, если уравнение не удается решить аналитически, то строят график функции и абсциссу точки пересечения его с осью берут за приближенное значение корня.
Недостаток графических методов: в результате применения графических методов ответ получается с погрешностью, недопустимой в силу своей большой величины.
Основным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы. Они сводят решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами и дают результат в виде числового значения с погрешностью, приемлемой для данной задачи.
Преимущество численных методов в том, что при более сложных задачах решение найти намного проще и точнее именно численным методом, а не аналитическим и, соответственно, графическим.
К инженерным приложениям численных методов можно отнести расчеты магнитных и электростатических линз для заряженных частиц, различного рода радиотехнические расчеты, включая, например, проектирование СВЧ-волноводов. В инженерной практике решаются численными методами различные задачи теоретической механики, например, задачи столкновения (в том числе динамический хаос).
Библиографический список
1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Оникс 21 век, 2005. - 636 с.
2. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 2005. - 400 с.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. - 432 с.
4. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений / Ракитин В.И. - М.: Москва. Высшая школа 1998г. - 374 с.