Материал: ПЗ-2 л

Міністерство освіти і науки України

Харківський національний університет

радіоелектроніки

Звіт з практичної роботи №2

з дисципліни “Прогнозування та моделювання в соціальній сфері”

з теми: “Формування прогнозів на основі методу кривих зростання(спадання)“

Харків 2019

Мета: формування прогнозів на основі методів кривих зростання (спадання), порівняльний аналіз отриманих результатів.

1.Вихідні дані

Для формування прогнозів на основі заданих методів було взято часовий ряд, наведений в таблиці 1.1:

Таблиця 1.1 – Заданий часовий ряд

2. Опис полінома першої степені (ппс)

Цей метод має такий вигляд:

. (2.1)

Перенесемо початку координат в середину ряду динаміки. Якщо до перенесення початку координат t дорівнювало 1,2,3, ..., то після перенесення: - для парного числа членів ряду t = ..., - 5; -3; -1; 1; 3; 5; ...; - для непарного числа членів ряду t = ..., - 3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ....

На рис 2.1 наведена графічна ілюстрація полінома першого степеню.

Рисунок 2.1 – Графічна ілюстрація полінома першого степеню

На рис.2.1 поліном першої степені зображується прямою і використовується для опису процесів, що розвиваються у часі рівномірно. Після перенесення початку координат сума непарних ступенів:

. (2.2)

Оцінки параметрів обчислюються за формулами:

. (2.3)

3.Опис полінома другої степені (пдс)

Цей метод має такий вигляд:

. (3.1)

Перенесемо початку координат в середину ряду динаміки. Якщо до перенесення початку координат t дорівнювало 1,2,3, ..., то після перенесення: - для парного числа членів ряду t = ..., - 5; -3; -1; 1; 3; 5; ...; - для непарного числа членів ряду t = ..., - 3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ....

На рис 3.1 наведена графічна ілюстрація полінома другого степеню:

Рисунок 3.1 – Графічна ілюстрація полінома другого степеню

Поліном застосовується в тих випадках, коли процес розвивається рівноприскорено (тобто є рівноприскорене зростання або рівноприскорене зниження рівнів). Після перенесення початку координат сума непарних ступенів, наведена формула в пункті 2.2.

Оцінки параметрів обчислюються за формулами:

. (3.2)

. (3.3)

4.Опис експоненціальних кривих (ек)

Цей метод має такий вигляд:

. (4.1)

Якщо b>1, то крива зростає разом з ростом t, і падає, якщо b<1. Параметр a характеризує початкові умови розвитку, а параметр b - постійний темп зростання. Логаріфмуючи вираз, отримуємо: ln y_t = ln a + t * ln b. Позначимо: ln a = A; ln b = B. Тоді ln y_t = A + t*B. Для оцінювання невідомих параметрів можемо використовувати систему нормальних рівнянь для прямої. Нормальні рівняння будуються виходячи з мінімізації:

(4.2)

Відповідно в нормальних рівняннях замість фактичних рівнів використовуються їх логарифми:

(4.3)

Оцінки параметрів обчислюються за формулами:

. (4.4)

. (4.5)

5. Розрахунок похибки прогнозу

Оцінка точності прогнозів проводиться за такими ознаками:

1. Помилка прогнозу:

(5.1)

2. Абсолютна помилка прогнозу:

(5.2)

3. Середня абсолютна помилка прогнозу:

MAE = ; (5.3)

4. Відносна похибка прогнозу:

ℇj = ( / ) * 100; (5.4)

Середня абсолютна відсоткова помилка:

MAPE = ( * ) * 100%; (5.5)

6.Середня відсоткова помилка:

MPE = ; (5.6)

7.Коефіцієнт детермінації:

= 1 - . (5.7)

6. Програмна реалізація полінома першої степені

Для того, щоб програмно реалізувати метод, описаний у розділі 2, спочатку було взято заданий часовий ряд (табл. 1.1), описаний у розділі 1. Його було позначено як масив Y[]. Потім створено масив часових інтервалів t[], який відповідає кількості значень часового ряду. Для формування прогнозу було використано формули (2.1), (2.2), (2.3), що було описані у розділі 2 даного звіту, і позначені у реалізації як Ymkzl, a1, a0. Далі, задля оцінки точності сформованого прогнозу було використано формули (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), (5.7), що були описані раніше у пункті 5. Вони позначені у реалізації як emkzl, deltamkzl, MAEmkzl, Emkzl, MAPEmkzl, MPEmkzl, R2mkzl відповідно.

На рис. 6.1 наведена ілюстрація програмної реалізації полінома першої степені.

Рисунок 6.1 - Ілюстрація програмної реалізації полінома першої степені

7. Програмна реалізація полінома другої степені

Для того, щоб програмно реалізувати полінома другої степені, описаний у розділі 3, спочатку було взято заданий часовий ряд(табл. 1.1), описаний у розділі 1. Його було позначено як масив Y[]. Потім створено масив часових інтервалів t[], який відповідає кількості значень часового ряду. Для формування прогнозу було використано формули (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) що були описані у розділі 3 даного звіту, і позначені у реалізації як Ymkzp, a1, a0,а2. Далі, задля оцінки точності сформованого прогнозу було використано формули (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), (5.7), що були описані раніше в розділі 3. Вони позначені у реалізації як emkzp, deltamkzp, MAEmkzp, Emkzp, MAPEmkzp, MPEmkzp, R2mkzp відповідно.

На рис. 7.1 наведена ілюстрація програмної реалізації полінома другої степені.

Рисунок 7.1 - Програмна реалізація полінома другої степені

8. Програмна реалізація експоненціальних кривих

Для того, щоб програмно реалізувати експоненціальні криві, описаний у розділі 4, спочатку було взято заданий часовий ряд(табл. 1.1), описаний у розділі 1. Його було позначено як масив Y[]. Потім створено масив часових інтервалів t[], який відповідає кількості значень часового ряду. Для формування прогнозу було використано формули (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) що були описані у розділі 4 даного звіту, і позначені у реалізації як Ymkze, a, b. Далі, задля оцінки точності сформованого прогнозу було використано формули (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), (5.7), що були описані раніше в розділі 3. Вони позначені у реалізації як emkze, deltamst, MAEmkze, Emkze, MAPEmkze, MPEmkze, R2mkze відповідно.

На рис.8.1 наведена ілюстрація програмної реалізації експоненціальних кривих.

Рисунок 8.1 - Програмна реалізація експоненціальних кривих

9. Оцінка похибок прогнозів

Похибка прогнозів, описаних у розділах 2, 3 та 4 оцінюється за критеріями, що описані у розділі 5 та наведені у таблиці 9.1:

Таблиця 9.1 – Похибки результатів прогнозів

Метод			MAE	, %	MAPE, %	MPE %
МКТ	1720	1720	2508	14,4	671	-671	-0,079
МСТ	5939	5929	1156	49,8	94,97	-158	0,743
ППС	5513,2	5513,2	1197,2	46,3	93,6	-139,4	0,749
ПДС	2125,2	2125,2	516,24	17,9	156,90	159.05	0,956
ЕК	7301,2 + 6562,1i	9816,7	1179,9	82,46	73,33	27,531 – 61,243i	0,89619 – 0,52429i