Материал: Правило Лопиталя
Теорема (правило Лопиталя).
Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения производных этих функций (конечному или бесконечному).
(1)
Если функция f(x) и φ(x) при х → х0 являются бесконечно малыми, то предел в левой части равенства (1) является неопределенностью вида:
.
Если функция f(x) и φ(x) при х → х0 являются бесконечно большими, то предел в левой части равенства (1) является неопределенностью вида:
.
Данные неопределенности можно устранить,
если от отношения функций f(x)/φ(x)
при вычислении предела в соответствии
с (1) перейти к отношению производных
этих функций
.
Пример 1.
Вычислить предел:
.
Решение. Данный предел приводится к первому замечательному пределу:
.
Вычислим данный предел, используя правило Лопиталя. Для этого найдем производные числителя и знаменателя дроби.
(sin ax)' = a cos ax
(x)' = 1.
В соответствии с формулой (1) запишем:
.
В некоторых случаях при переходе от отношения функций f(x)/φ(x) к отношению производных устранить неопределенность не удается. В этом случае правило Лопиталя можно записать в виде:
(2)
где f(k)(x)
и φ(k)(x)
производные k-того
порядка от функций f(x)
и φ(x). То есть для
снятия неопределенности вида
или
иногда необходимо k
раз продифференцировать числитель и
знаменатель дроби.
Пример 2.
Вычислить предел
.
Решение. При х → ∞ числитель х
и знаменатель ех дроби
являются бесконечно большими величинами.
Мы получаем неопределенность вида
.
Для снятия данной неопределенности нужно продифференцировать числитель и знаменатель дроби три раза:
По формуле (2) записываем:
.
Следует обратить внимание, что при применении правила Лопиталя (1) и (2) берется отношение производных, а не производная отношения.
Пример 3.
Решение.Вычислим предел при х → +∞:
.