Документ: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А, страницы 221-225

5.320. Релятивистский ∑+ - гиперон с кинетической энергией Т∑ распался по схеме ∑+ →π+ + x. При этом π+ - мезон вылетел с энергией Тπ под прямым углом к направлению движения гиперона. Найти энергию покоя частицы x (E0x = mxc²). Предположительно частицей x является нейтрон (∑+ →π+ + n).

Однако получим решение.

По законам сохранения энергии и импульса системы

частиц напишем два уравнения: Е∑ = Еπ + Еx,

(1)

где Е имеет смысл полной энергии соответствующей частицы, и с

учетом угла разлета частиц распада

p²x = p²π + p²∑.

(2)

Благодаря соотношению Е = с

, перепишем

равенство (2) в виде: Е²x - m²xc4 = Е²π -

²m²+πc4 +² E²²

∑ - m²∑c4.

(3)

Если из (1) взять Еx и подставить в (3), получим:

(Е∑+Еπ)² =(m²x-m²π -m²∑ )c4+Еπ²+Е∑²

2 Е∑ Еπ =(m∑² +mπ²)c4 –(mxc²)²

В

mxc² =

/

π π

( ²∑ + ² ) −∑2 Е ∑∑Е

∑ .

π

(4)

выражении (4) сделаем замены:

Е

= Т + m c2, Е = Т + m c2.

Тогда для энергии покоя x-частицы получим выражение:

mxc² = ( ²∑ + ² ) − 2(Т∑ + ∑ ) (Т +

) / .

5.321. Рассмотрим распад нейтрального π – мезона:

π0 →γ+γ. Угол разлета γ - квантов θ = 60°. Надо найти кинетическую энергию π – мезона и энергию каждого кванта. Понятно, что направления разлета γ - квантов симметричны относительно движения еще нераспавшегося пиона. Далее, согласно законам сохранения энергии и импульса для данной системы частиц, имеем следующие соотношения:

Тπ + mπc² = 2Еγ (1), pπ = 2pγ cos (2)

Равенство (2) представим через энергии частиц, исходя из

формул: p = Т(Т+2 ²),			221γ γ
			p = Е	/с. Оно получает вид:

Т (Т +2 m c²) = 4E cos		.	(3)

Система уравнений (1) и (3) по отношению к величинам Т и Еγ дает следующие их значения:

Т = ²(			−1) =	(		−1).	=				.

Масса покоя π0 – мезона mπc² = 135 МэВ. Для θ = 60° получаем Тπ = Еγ = mπc² = 135 МэВ.

5.322. Представим процесс столкновения релятивистской частицы массы m с покоящейся частицей массы М, в результате которого рождаются новые частицы масс m1, m2, …:

m+М → m1+ m2+…. Покажем, что пороговая энергия частицы m определяется формулой:

Епор =	(	)² ( М)²	²	(1)
Епор =		М	²

При доказательстве (1) воспользуемся инвариантностью выражения Е² - р²с² для замкнутой системы частиц по отношению к инерциальным системам отсчета : Е² - р²с² = inv.

Пусть в одной из инерциальных систем отсчета полная энергия и

где m – масса покоя

Е =

²/ 1−

²

и

р =

/

1− ²

импульс частицы равны

,

частицы. Построим величину Е² - р²с²:

Е²− р²с² =

²

−

²

=

²

(1 −

/c²) = ²

=

,

поскольку масса частицы есть инвариантная характеристика. Свойство Е² - р²с² = inv = m²c4 можно распространить на изолированную систему частиц и написать:

(∑Еi )² - c²( ∑ i )² = Inv = c4(∑mi)² (2)

Свойство inv позволяет получить энергетическое соотношение для сталкивающихся частиц и системой частиц, рождающихся при столкновении, в частности, установить энергетический порог эндоэнергетической реакции.

222

Пороговую энергию Епор налетающих на мишень частиц выражают в лабораторной системе отсчета (л.с.о.). Однако описание какого-либо процесса становится более простым в системе центра масс частиц (с.ц.м.). Система ц.м. примечательна тем, что результирующий импульс системы частиц равен нулю.

Итак, рассмотрим столкновение m- частицы с покоящейся M- частицей, в результате которого возникают новые частицы масc m1, m2 и т.д. Выражая инвариант частиц до столкновения в

л.с.о. и рождающихся частиц в с.ц.м., получим равенство
(Еm + Mc²)² - pm2c²= (∑Еi )²	(3)
Напомним, что здесь Еm и Еi представляют	полные

энергии, а сумма импульсов образовавшихся i– ых частиц равна нулю, ∑ i = 0 (в с.ц.м.). В общем случае образовавшиеся частицы движутся относительно друг друга. Если же относительного движения этих частиц не возникает, то ∑Еi = ∑mic² и энергия налетающей частицы Еm будет минимальной, при которой может начаться рассматриваемая реакция. Эта энергия и будет порогом реакции. Таким образом, значение порога найдётся из уравнения

Е

Мс

2 2

р

2

с

2

т

с

2 2

(4)

т

.

i

Раскрывая квадрат Ет Мс2 2

и учитывая выражение

инварианта т-частицы Ет

2 рт

2с2

inv mc2 2 , получим

2Е

т

Мс 2 М 2 с4

тс 2

2

т

c2 2 .

(5)

i

При сокращении на с2

из (5) находим

m

i

2

m 2 M 2

Епор Ет min

c

2

(в л. с. о.).

(6)

2M

Исключив энергию покоя частицы m, получим пороговую кине-

тическую энергию

m

i

2

m 2

M

2

Т пор

c

mc

2 M

223

т	2 т М 2
i		с 2 .	(7)
		с 2 .	(7)
	2М

5.323. Рассмотрим пример аннигиляции позитрона и электрона: е е . По известному значению кинетической энергии позитрона Т=750кэВ найдем угол разлёта Ѳ γ-квантов. Электрон покоящийся.

Здесь энергии и модули импульсов γ-квантов одинаковы, разлёт квантов симметричен относительно движения позитрона.

По законам сохранения энергии и импульса имеем

уравнения:

Т 2т

с

2

2Е

(1),

Е

(2)

р

п

2

cos

.

е

2

с

Поскольку рп

1

, что при возведении в квадрат

Т Т 2т

ес2

с

(2) примет вид:

Т Т 2тес2

4Е

2 cos 2

.

(3)

2

Совместно (1) и (3) дают:

Т Т 2тес2 Т 2тес2 2cos2

Т Т 2тес2 cos2

2

1

cos

Т

Т 2тес2

2

1 2тес2/Т

1 0,511/0,75

1

0,8; 100 .

1,67

5.324. Рождение пары элементарных частиц при взаимодействии γ-кванта и некоторой частицы массы М.

а) р е е р. Здесь М тр . Исходя из формулы (6)

задачи 5.324 Епор	тi 2	т2	М 2	с2 , в данном случае будем
задачи 5.324 Епор		2М		с2 , в данном случае будем
		2М
		224

иметь:

т

р

2т

е

2 т

2

4т

т

р

4т

2

те

р

с

е

с

2теc

2

пор

2тр

1

.

тр

Поскольку т <<

т

р

, пороговая энергия

пор

2т

с2

1МэВ.

е

б) р р.

2т тр 2

тр2

2

т

140

пор

с

2т

с

1

2 140 1

МэВ 32МэВ.

2тр

938

тр

5.325. Определим пороговую энергию антинейтрино в

реакции ~ р п е . На основании формулы (6) задачи 5.322

напишем:

тп те 2 тр 2

с

2

т

пс2 тес2 2

1

т

с

2

пор

р

2тр

2трс2

2

1

тпс

2

1

939,5

2

т

р

с

938,2

МэВ 1,5 МэВ .

2

трс2

2

938,2

5.326. Протоны с кинетической энергией Т налетают на неподвижную водородную мишень. Найти пороговые значения кинетической энергии для реакций, представленных в пунктах а) и б). Для определения искомой величины воспользуемся

т

i

2

т М 2

формулой Т пор

с 2

(см. (7) задачи 5.322).

2М

а) р р р

~

р р р.

Тпор

4тр 2 2тр 2

с2 6трс2

5,63ГэВ.

2тр

б) р р р р .

2т

р т 2 2тр

2

т с2 2

Т

пор

с

2т

с

2тр

2трс2

2 135

135

2

280

МэВ 0,28

ГэВ.

2 938,2

225

Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

Смотрите также: