Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А
Из (2) следует |
|
|
|
|
|
|
1 − |
. |
(5) |
(4), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя в (5) выражение (3) и = |
|
|
|
|
|
||||
получаем |
= |
( |
|
²) |
. |
|
|
(6) |
|
Для π- - мезона масса покоя m ≈ 140 MэВ, при Т = 100 MэВ и
l =11м, τ0 = 26 нс.
5.313. На длине пучка мезонов протекает обычный процесс их распада по закону J = J0 e – λt, где J0 – поток частиц через начальное сечение пучка, J – через последующее сечение пучка на расстоянии l от первого. Здесь постоянная распада λ = 1/<τ>,
τ0 –< >= |
/ |
1 − |
– среднее время жизни мезонов в л.с.о., |
||||||||||
где |
|
|
|
||||||||||
собственное время жизни; t = l / υ. Согласно формулам (3) и |
|||||||||||||
(4) задачи 5.312., |
= |
√1 |
− , |
= |
²/ [ ( + |
²)]. |
|||||||
²)²) |
|
|
|
/ = |
( |
, |
|||||||
t = с |
(( |
|
|
и |
²) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.314. Остановившийся π+ - мезон распался на мюон и нейтрино ( π+ → μ+ + νμ ). Найдем кинетическую энергию Т мюона и энергию Е нейтрино ν = νμ.
Исходя из законов сохранения энергии и импульса данной системы частиц, напишем: ∆ mc2 = Тμ + Еν, (1)
где ∆ m = mπ - mμ;
Равенства |
= |
, т.е. |
( + 2 |
²) = Е |
/ |
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(1) и (2) образуют систему уравнений: |
|
|
|
|
||||||
∆ |
= Т + Е |
, |
μ |
( |
π + 2μ |
²) |
π |
Еν. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||
Решение системы уравнений даёт: Т = (m - m )²с4/2m , |
(3) |
||||||||||
|
|
Еν = (mπ - mμ)с2 - Тμ. |
|
|
|
|
|
(4) |
|||
Массы пиона и мюона: mπ ≈140 МэВ, mμ ≈106 МэВ. Дефект массы
216
∆m = mπ - mμ = 34 МэВ.
Итак, Т = |
· |
² |
МэВ = 4,1 МэВ, |
Еν = 34-4,1 = 29,9 МэВ. |
5.315. Найдем кинетическую энергию нейтрона, возникающего при распаде сигма-минус-гиперона (∑- → n + π- ), полагая гиперон перед распадом остановившимся.
Обратившись к законам сохранения энергии и импульса системы частиц, будем иметь:
c²(mΣ - mn - mπ) = Тn +Tπ,
где символ Т означает кинетическую энергию,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( = |
|
|
с² ∆ m( |
= Т+n 2π |
, |
) ) = ( = |
|
|
|
∑ |
|
(n |
+π |
2 |
|
|
|
²) ), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+T |
где |
|
|
∆ m = m |
- m - m , |
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tn (Tn + 2mn c²) = Tπ (Tπ + 2mπ c²). |
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||
Решая систему уравнений (1) и (2) относительно Тn, получаем: |
||||||||||||||||||||||||||||||
Т = |
( |
∑ |
|
|
|
– |
)( ∑ |
|
) ² |
= |
[ ( |
∑ |
) |
|
|
] [( ∑ |
) |
|
]с² |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[( |
∑ |
)² |
|
²]с² |
|
[( |
∑ |
)² |
|
|
²]с |
. |
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
МэВ. |
∑ |
∑ − ² = 1196 |
|
∑ |
|
|
с² ≈ 940 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
МэВ, |
МэВ, |
||||||||||||||||||||
Энергии |
покоя частиц: |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
≈ 140 |
|
|
|
|
|
|
МэВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановке в (3) этих величин, получим: |
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
– · |
|
|
= 19,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.316. Остановившийся положительный мюон распался на позитрон и два нейтрино (μ+→ е+ + ν + ν ). Найдем максимально возможную кинетическую энергию позитрона.
Законы сохранения энергии и импульса дают:
– е с = Те + Е + Е |
, |
+ + = 0 |
|
|
Возможности |
у нейтрино одинаковы, поэтому можно положить |
||
Е = Е = |
Е , |
= |
= = Е /с, а также принять, что |
разлет нейтрино симметричен относительно полета позитрона.
217
Пусть при этом угол разлета равен 2θ. Тогда законы сохранения
примут вид: |
( |
|
– |
|
|
е )с² = 2Те |
+ 2Е |
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Импульс позитрона |
= 2 |
|
|
|
|
= |
2Е |
|
|
|
|
. |
|
(3) |
||||||||
|
|
|
е( е |
+ 2 |
е |
²) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Из (2) и (3) имеем равенство = |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
Совместно (1) и (4) дают: |
|
|
е( е +2 |
|
е ) = 4 Е |
(4) |
||||||||||||||||
|
|
|
е( е +2 е ) = [( |
|
− . |
е)Вс² − е]² |
|
. |
(5) |
|||||||||||||
Представим (5) в виде |
( |
е) = |
|
|
|
|
|
|
точке экстремума |
|
||||||||||||
|
|
е |
= 0; |
|
|
|
· |
|
е |
=1 |
−2 |
|
|
|
|
= − |
|
2 = 0. |
|
|||
Отсюда |
|
|
|
е |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
два |
решения: |
θ =0 и |
|
θ |
=π/2. |
Значение θ =π/2 |
|||||||||||||
противоречит (5) (получается, что Tе < 0. Следовательно θ = θ1 = 0, cosθ = 1 и ур-ние (5) принимает вид Tе(Tе + 2mеc²) = [( mμ – mе )с²- Tе]² (6)
Из равенства (6) находим максимально возможную кинетическую энергию нейтрона: Т = ( е )с² ². (7)
Такую энергию нейтрон может получить в том случае, когда возникающие нейтрино полетят в противоположные стороны. Энергия покоя мюона и электрона равны:
Еμ = 105,66 МэВ, mе = 0,51МэВ. Тmax ≈ ·mμc² ≈ ·107 ≈ 53 МэВ.
5.317. Обозначим массу искомой частицы через mx и на основании законов сохранения энергии и импульса для системы частиц напишем: (mx -mp- mπ)c² = Tp + Tπ,
Tp(Tp + 2mpc²) = Tπ(Tπ+2mπc²)
Здесь Тi –кинетическая энергия,
= |
( + 2 ²) - |
218 |
|
|
|
|
импульс i-ой частицы. |
Исключив Tπ , сначала получим равенство
[(mx -mp- mπ)с² - Тp ]² + 2[(mx -mp- mπ)с²-Tp] mπc² = T²p+ 2mpc² Тp, а затем уравнение x²+2mπc²x-b =0, где x = (mx -mp- mπ)с²- Tp , b = Tp (Tp + 2mpc²), x > 0, b > 0.
Из этого уравнения имеем: |
= |
с²( 1+ / |
² с |
−1), или. |
||||||
|
|
|
||||||||
( − − )с²− |
= |
с²( 1+ |
( |
² с |
²) |
− 1) |
||||
|
|
|
||||||||
Отсюда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Массы² = p- и+π– |
с |
+ |
+ |
²( |
1+ |
|
|
с |
|
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частицы |
в |
энергетических |
единицах равны: |
||||||
mp=938,26 МэВ, mπ=139,59 МэВ. Кинетическая энергия протона Tp=5,3 МэВ. Подставив эти значения в выражение для mxc², получим mxc² = 1115 МэВ. Следовательно, искомой частицей является Λ0 – гиперон, распадающийся по схеме Λ0 →p+π- .
5.318. Предложено найти среднее время жизни мюонов в л.с.о., образующихся при распаде каонов: К+ → µ+ + ν.
Массы и собственные времена жизни элементарных частиц определены, систематизированы и представлены в виде таблиц. Массы каона и мюона соответственно равны: mk = 493,9 МэВ, mµ = 105,7 МэВ. Собственное время жизни мюона τ0 = 2,2∙10- 6 с.
Среднее время жизни мюонов в л.с.о. |
= / 1 − ² . |
Релятивистскую поправку 1/ 1 − ² найдем, исходя из законов сохранения энергии и импульса системы частиц:
(mk - mµ)с² = Тµ + Еν, |
|
Т |
+ 2 |
= Е /с. |
|
Исключив Eν , получим:
− с = Т + Т ( +2 ²) [ − с − Т ]² =
219
с−
= Т |
+2 |
|
Т |
= |
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
− |
|
² = |
|||||||||
с²( |
)² |
|
² |
= |
( . |
|
|
Таким |
|
|
1 −β² |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
образом, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
)² |
|
Вычисления дают: |
|
|
||||||||||||||||||
= |
( |
|
) = |
( |
|
/ |
|
|
) . |
|
– 6 |
∙ |
|
· ,, |
|
²= 5,4∙10 |
-6 |
с. |
||||||||
mk /mµ = 493,9/105,7 = 4,67; |
|
|
|
τ = 2,2∙10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5.319. Параллелограмм импульсов частиц, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
соответствующий распаду π - → µ - + ν̃, |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
приведен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
По законам сохранения энергии и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||
импульса системы частиц, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Еπ, Eµ - |
полные энергии π – мезона и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||||
|
Е |
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мюона; |
|
p²µ = p²π + p²ν |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На основании соотношения |
|
|
с4 |
= Е² - m² с4 |
|
представим |
|
|
|
|
||||||||||||||||
равенство (2) в виде: |
Е²µ - |
m² |
+ E² |
ν. |
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||
|
=μ |
|
с |
|
² π+ |
|
|
π² ² |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выражение Eµ = Еπ - Eν, взятое из (1), подставим в (3): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 =E² |
- m² с4 +E² |
ν |
2 Е |
E |
ν |
=(m² |
π |
- m² |
) с4 |
|
(4) |
|||||||||||
(Еπ - Eν)² - m²μс Eν =π |
μ |
|
² )с |
|
π |
|
|
|
|
|
μ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
.кинетическая энергия, выраже- |
|||||||||||||||||||
Поскольку Еπ = Тπ + mμс² , где Тπ – |
||||||||||||||||||||||||||
ние (4) перепишем в таком виде: |
² |
|
|
² )с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||
Подставляя в (5) значения m=πс² =( Т139,6 МэВс² ) |
, |
mμс² = 105,6 МэВ и |
||||||||||||||||||||||||
Тπ = 50 МэВ, получим: |
E = |
( |
|
, ² |
,,)² = 22 МэВ. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||