Материал: Основы статистического анализа-3-к-рус

17- Занятие. Расчет коэффициентов регрессии по сгруппированным данным

Отыскание параметров выборочного уравнения

простой линейной регрессии по сгруппированным данным.

При большом количестве наблюдений одно и то же значение х может встречаться n_x раз, значение у - n_y раз, одна и та же пара может наблюдаться n_xy раз. Поэтому данные наблюдения группируются, т.е. подсчитываются частоты и все данные записывают в виде таблицы, которую, называют корреляционной таблицей. Для данных, заданных в виде корреляционной таблицы, уравнение определяется следующим образом:

Пусть изучается система количественных признаков (X,Y). В результате N независимых опытов получены пары чисел где пара встречается .

Результаты представлены корреляционной таблицей:

Здесь и .

Выборочная ковариация cov(X,Y) величин (X,Y) определяется формулой:

,

где и - выборочные средние признака X и Y.

Выборочные дисперсии:

;

.

Следовательно, выборочный коэффициент корреляции:

.

При отыскание параметров выборочного уравнения простой линейной регрессии по сгруппированным данным, выборочный коэффициент корреляции и коэффициенты уравнения могут быть вычислены непосредственным применением формул.

,

, .

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат выборочного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей доле регрессии. Соответственно величина характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных неучтенных в модели факторов.

Пример 2. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х по данным корреляционной таблицы.

Решение: Вычислим значения следующих сумм:

.

.

.

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

Далее найдем коэффициенты уравнения регрессии:

, .

Итак, уравнение регрессии имеет вид: .

Для этого примера =0,5867, следовательно, уравнением регрессии объясняется 58,67% дисперсии результативного признака у, а на долю прочих факторов приходится 41,33% ее дисперсии.

Ответ:

Задания для закрепления:

1. Найти выборочные уравнения линейной регрессии Y на Х и линейной регрессии Х на Y по данным корреляционной таблицы.

Ответ: ;

2. Найти выборочные уравнения линейной регрессии Y на Х и линейной регрессии Х на Y по данным корреляционной таблицы.

Ответ: ;

3. Найти выборочные уравнения линейной регрессии Y на Х и линейной регрессии Х на Y по данным корреляционной таблицы.