Материал: Метод векторных диаграмм

В нашем случае для параллельной цепи общим является напряжение между точками А и В, а сила тока в ветвях IC и IL различна.

Рис. 12

Полная сила тока

I = IC + IL

и задача сводится к сложению колебаний тока на векторной диаграмме токов.

Пусть колебания напряжения между токами А и В изображаются вектором, направленным вдоль линии U.

Рис. 13

Тогда колебания тока в катушке индуктивности изображаются вектором ILO, длина которого определяется как

ILO=.

Этот вектор повёрнут относительно оси напряжений на угол  в отрицательном направлении, так как ток в катушке отстаёт по фазе от напряжения

.

Это можно увидеть, если построить векторную диаграмму напряжений.

Начать построение векторной диаграммы напряжений надо с более сложной ветви. Возьмём за основу ток в этой ветви IL. С направлением IL по фазе совпадает напряжение на активном сопротивлении r. Напряжение на катушке опережает ток IL на . Отложим вертикально вверх вектор UL. Сумма векторов Ur и UL даёт нам напряжение между точками A и B, которое также равно UC, так как они соединены параллельно. Ток IC опережает напряжения на UC угол , поэтому отложим из точки О вектор IC  UC.

Сумма векторов ICO и ILO даёт нам полный ток IO.

Рис. 14

Угол сдвига фаз между полным током IO и напряжением UO равен .

Колебания тока в конденсаторе изображаются вектором ICO, ток в конденсаторе опережает напряжение на угол . А величина тока равна

ICO = UO.

Амплитуда полного тока IO определяется векторной суммой токов ICO и ILO.

Угол  определяет сдвиг фаз между полным током и напряжением.

Полный ток

.

Если в рассмотренной цепи изменить частоту подаваемого переменного напряжения или изменять параметры цепи L и С, то будут изменяться амплитуда полного тока и сдвиг фаз между током и напряжением.

Так как под резонансом понимается такой режим, при котором общий ток IO совпадает по фазе с приложенным напряжением UO, то условие резонанса токов может быть найдено из равенства .

При некотором соотношении L, C, R и  это возможно, тогда наступит резонанс токов. Векторная диаграмма токов для резонанса изображена следующим образом (рис. 3). Обычно в катушках индуктивности  ; и угол  близок к . Ток IC опережает напряжение на +. Таким образом токи IC и IL обладают разностью фаз, близкой к , то есть находятся в противофазах. Поэтому полный ток (ток генератора) I равен приблизительно разности токов IL и IC. При резонансе полный ток становится наименьшим, а сопротивление всей цепи достигает наибольшего значения.

Рис. 15

Если предположить, IL  IC и r<<

,

то для резонансной частоты опять получаем значение , как и для резонанса напряжений.

Таким образом, если активное сопротивление цепи стремится к нулю, то и ток в подводящих проводах будет стремиться к нулю, а токи IL и IC могут иметь весьма большие значения, компенсируя друг друга, при протекании через генератор.

Задача 1.

Дроссель с индуктивностью L, активным сопротивлением r и активное сопротивление R присоединены параллельно друг к другу и к сети переменного тока с напряжением U. Если известна частота переменного тока и сдвиг фаз  между полным током и напряжением U, найти токи в ветвях цепи и полный ток.

Дано

Рис. 16

Электрическая схема имеет вид рис. 16

Построим векторную диаграмму токов и напряжений.

Отложим по горизонтали вектор тока I2. В фазе с этим током находится напряжение на сопротивлении r, отложим его на этой же линии Ur.

Напряжение UL опережает ток I2 на угол , поэтому вектор UL отложим вертикально вверх. Полное напряжение на концах участка АВ будет векторная сумма векторов UL и Ur, это же напряжение равно UR , так как они соединены параллельно. Ток I1 через активное сопротивление R совпадает по фазе с напряжением UR, поэтому откладываем вектор I1 в направлении вектора U. Полный ток находится, как сумма векторов I1 и I2, получаем вектор I. На диаграмме получим угол  между полным током I и напряжением U.

Рис. 17

Применяя теорему косинусов к треугольнику токов, получим

.

Из этого квадратного уравнения можно найти полный ток I, зная I1 и I2.

,

.

; .

Задача 2.

Дроссель соединен последовательно с активным сопротивлением R. Они присоединены к сети с переменным напряжением U. Падение напряжение на дросселе U2, на сопротивлении R - U1. Чему равно активное сопротивление r дросселя?

Дано

Рис. 18

Нарисуем электрическую схему рис. 18

Решение задачи станет ясным, если нарисуем векторную диаграмму напряжений.

В горизонтальном направлении отложим вектор тока I, он одинаков для всех элементов цепи. С этим током по фазе совпадают напряжения на сопротивлении R- вектор U1 и на сопротивлении r - вектор Ur. Чисто реактивное напряжение на катушке L будет UL, оно опережает ток на , поэтому вектор UL Ur. Векторная сумма векторов Ur и UL даёт нам вектор напряжения на дросселе U2. Складывая вектора U2 и U1, получим вектор U полного напряжения на входе. Сопротивление r можно найти из закона Ома для участка цепи

.

Ток . Из треугольника напряжений, вводя угол , можно найти

.

Рис. 19

Применяя теорему сложения векторов

,

можно найти cos:

.

Тогда для активного сопротивления дросселя получим

.

Задача №3.

Для существенно разветвленной электрической цепи векторные диаграммы токов и напряжений становятся громоздкими. Тем не менее, рассмотрим один из примеров построения такой диаграммы. Исследуемая цепь переменного тока изображена на рис. 4.

Рис. 20

Для удобства построения диаграммы расставим токи в цепи и пронумеруем некоторые её точки. Напряжение между точками 1 и 2 - это напряжение на резисторе R1, между точками 2 и 3 - на катушке L (катушку считаем идеальной), между точками 1 и 3 - это одновременно напряжение на R1 L и С1, напряжение между точками 3 и 4 - напряжение на R2, а между точками 4 и 5 - на конденсаторе С2, напряжение между точками 1 и 5 - это напряжение генератора. Ток I - это ток в неразветвленной части цепи (ток генератора), протекание токов I1 и I2 ясно из рисунка 4. Построение диаграммы надо начинать с наиболее разветвленного участка цепи. Выберем, например, в качестве базового колебания колебание силы тока I1. Это будет означать, что все фазовые сдвиги будут отсчитываться от этого колебания. Напряжение на R1 синфазно с током I1. Этот же ток течет через L, создавая на нем напряжение U23, это напряжение опережает I1 и U12 на , вектор повернут относительно базисного против часовой стрелки на . Напряжение на R1L (оно же на С1) описывает вектор, соединяющий начало вектора U12 и конец вектора U23. Ток, который течет через С1, опережает напряжение на С1 (U13) на . Вектор I20 перпендикулярен к U13, но начинается в конце вектора I10. Результирующий ток I находится как сумма векторов I10 и I20. Напряжение на R2 синфазно с I. Вектор U34 параллелен I0, но начинается в конце вектора U13. Вектор U45 описывает колебание, отстающее от I на , начинается он в конце вектора U34. Напряжение генератора U15 мы найдем, соединив начало диаграммы с концом вектора U45. Это и есть U0. Сдвиг фаз между током генератора и его напряжением на диаграмме обозначен как φ.

Рис. 21

Разумеется, диаграмма нарисована качественно без соблюдения пропорций между напряжениями, т.к. величины нагрузок не заданы. Количественно обсчитать такую диаграмму трудно, поэтому для математического описания сложных цепей используются иные методы.

Список литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т. 2, М., Астерель, 2011.

. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма, М., Высшая школа, 2003.

. Калашников С.Г. Электричество. М., Наука, 2007.

. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. 3, Электричество. М., Наука, 2007.