Материал: Метод векторных диаграмм

Метод векторных диаграмм

Реферат

Метод векторных диаграмм

ток индуктивность резонанс

1. Метод теории

Этот математический метод является способом визуализации любых колебательных процессов, но особенно он удобен для описания цепей переменного тока. В методе каждому колебанию ставится в соответствие вектор, длина которого пропорциональна (в любом удобном масштабе) амплитуде колебания. Среди колебаний выбирают колебания, не имеющие начальной фазы, начальные фазы других колебаний отсчитываются от них. Такие колебания называются базисными. Пример базисного колебания А=АО . Базисному колебанию ставится в соответствие в методе векторных диаграмм вектор, расположенный горизонтально и направленный слева направо вектор АО (рис 1). Всем остальным колебаниям ставится в соответствие вектор, изображённый в том же масштабе, но повёрнутый относительно базисного против часовой стрелки на угол φ, равный начальной фазе колебания. Вектор, поставленный в соответствие колебанию В=ВО также изображён на рис 1.

Рис. 1

Метод векторных диаграмм удобен тем, что в нем алгебраическое сложение колебаний заменяется сложением векторов, поставленных в соответствие этим колебательным процессам. Сложение векторов производить проще, кроме того, оно является наглядным.

Наличие в цепях переменного тока реактивной нагрузки (конденсаторов, катушек индуктивности) вносит сдвиг по фазе между током, текущем в нагрузке, и напряжением на ней.

Рассмотрим, как ведут себя в этих цепях различные нагрузки.

Если в цепи с переменным током

I=IО cost (1)

присутствует только омическое-активное сопротивление R, то напряжение на этом участке по закону Ома будет

Рис. 2

= IR=IОR cos t,

UOR=IOR,

UR= UOR cos t, (2)

то есть на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Это можно изобразить с помощью векторной диаграммы.

Рис. 3

Если в качестве нагрузки используется идеальный конденсатор емкости С, по которому протекает изменяющийся во времени по закону косинуса ток

I = IО cos t,

напряжение на конденсаторе будет

U===== =

=,(3)

где UOС = , a Xc =  - называют емкостным сопротивлением.

Таким образом, на конденсаторе напряжение тоже меняется по закону косинуса, но при этом ток опережает по фазе напряжение на угол , что можно изобразить с помощью векторной диаграммы.

Рис. 4

Физика этого фазового сдвига проста и понятна из рис. 2, на котором изображена зависимость силы тока, питающего конденсатор от времени.

Рис. 5

В момент времени to конденсатор начинает заряжаться, заряд на обкладках и напряжение между ними увеличивается. К моменту времени t1 сила тока достигла максимального значения и начинает уменьшаться, но ток течёт в прежнем направлении. Заряд на обкладках и напряжение между ними продолжают увеличиваться. Своего максимума они достигают к моменту времени t2 перед сменой направления тока. С момента t2 заряд и напряжение убывают. Именно описанные физические процессы и приводят к фазовому сдвигу между током конденсатора и напряжением на нем.

Если в цепи с переменным током

I=IО cost

присутствует катушка с индуктивностью L, напряжение на ней будет

UL= L= L IО (cost)=  L IОcos(t+)=ULO cos(t+), (4)

где амплитуда напряжения на индуктивности

ULO= L IО.

Величина  L называется индуктивным сопротивлением и обозначается

XL= L.

Из уравнения (4) видно, что напряжение на индуктивном сопротивлении тоже меняется по закону косинуса, но опережает ток по фазе на угол , что можно отобразить на векторной диаграмме. Этот фазовый сдвиг объясняется тем обстоятельством, что индукционные токи, текущие через катушку, в соответствии с правилом Ленца противодействуют изменениям тока генератора. В результате ток, текущий через катушку индуктивности, отстает по фазе от напряжения на катушке.

Рис. 6

Рассмотрим цепь, содержащую активное сопротивление, индуктивность L и емкость С в последовательном соединении.

Рис. 7

Нужно отметить, что для мгновенных значений переменного тока, который мы считаем квазистационарным, справедливы законы постоянного тока, в том числе закон Ома и правила Кирхгофа.

Для получения мгновенного значения приложенного к цепи напряжения, мгновенные значения напряжений, на отдельных последовательно соединённых участках цепи, должны быть сложены алгебраически, а именно

U = Ua + UL + Uc = I r + L + .

Суммарное напряжение на индуктивности и ёмкости при их последовательном соединении называется реактивным напряжением, оно будет

UP= UL + UC = IOL cos(t+)+ =

= IO L cos(t+) - =

= IO(L - ) cos(t+)= IO XP cos(t+),

где XР = (L - ) - реактивное сопротивление цепи, содержащей L и С в последовательном соединении.

Для получения амплитуды приложенного напряжения амплитудные значения напряжений на этих участках необходимо сложить геометрически, так как при одном и том же токе напряжение на различных участках цепи достигают амплитудных значений в разное время.

Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей последовательно соединённые R, L, C, откладывая в виде векторов амплитудные значения тока и напряжений. Так как ток одинаков на всех участках данной цепи, построение начнём с вектора тока.

Отложим из произвольной точки вектор, равный в масштабе тока амплитудному значению тока в цепи. Уравнение тока написано с начальной фазой тока, равной нулю, поэтому вектор тока IО откладываем в направлении горизонтальной оси. Принято при построении векторных диаграмм отсчёт углов в положительном направлении производить против движения часовой стрелки.

Вектор UAO=IR, изображающий напряжение на активном сопротивлении, должен совпадать по направлению с вектором тока. Вектор ULO = IOXL, изображающий напряжение на индуктивности, строим из начала координат (точки О) вертикально вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на . Вектор, равный напряжению на ёмкости UCO = IOXC, строим также из начала координат, но вертикально вниз, так как напряжение на ёмкости отстает по фазе от тока на . Таким образом вектора ULO и UCO оказались направленными в противоположные стороны, что соответствует противофазности колебаний.

Рис. 8

Вектор суммарного напряжения на индуктивности и ёмкости может быть найден как геометрическая сумма векторов:

 =.

При построении диаграммы амплитуда напряжения на индуктивности ULO выбрана большей, чем амплитуда напряжения на ёмкости ULO. Это соответствует тому, что в исследуемой цепи XL > XC. Реально может быть и наоборот. Сложив геометрически вектор AO с вектором , получим вектор, изображающий амплитуду приложенного к цепи напряжения Uo.

Для исключения из векторной диаграммы вспомогательных построений векторы ULO и ULO можно строить не изначала координат, а из конца вектора UAO, как показано на топографической диаграмме.

Рис. 9

Рассматривая треугольник напряжений, находим амплитуду напряжения, приложенного ко всей цепи:

U0= ,

здесь UAO - амплитуда активного напряжения,

UPO - амплитуда реактивного напряжения.

Подставляя в последнее равенство значения Uao и UPO ,получим

U₀===,(5)

где Х=ХL-Xc - реактивное сопротивление цепи.

Полное сопротивление цепи

Z =.(6)

Из треугольника напряжений можно найти угол сдвига фаз между током и напряжением, приложенным к цепи:

tg= .(7)

Отсюда видно, что угол сдвига фаз между напряжением на зажимах последовательной цепи и током в этой цепи зависит только от соотношения между сопротивлениями отдельных элементов этой цепи.

При изменении частоты приложенного напряжения индуктивное XL=L и ёмкостное XC= сопротивления также изменяются, а вместе с ними изменится и угол .

. Резонанс напряжений

Ранее получено значение тока, протекающего по цепи, состоящей из последовательно соединённых ёмкости, индуктивности и активного сопротивления

IО=. (6)

Из этой формулы видно, что величина переменного тока в цепи существенно зависит от его частоты . Если , то и полное сопротивление z, а амплитуда тока IО. При увеличении  реактивное сопротивление XP=L - cначала уменьшается, а Io увеличивается. При частоте =, определяемом условием

,

реактивное сопротивление обращается в нуль, а полное сопротивление цепи становится равным активному.

Рис. 10

Сила тока при этом достигает максимума.

При > реактивное сопротивление снова увеличивается c возрастанием , а амплитуда тока IО уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю при увеличении . Зависимость IО от  изображена на рисунке.

Частота =называется резонансной.

При этом сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, что видно из формулы (7). Выше предполагалось, что изменяется частота тока , а параметры цепи остаются неизменными. Однако ясно, что для получения резонанса можно изменять индуктивность или ёмкость, оставляя частоту  постоянной.

Найдем теперь, чему равны амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности при резонансе. Амплитуда тока при резонансе

IО=.

Амплитуда напряжения на емкости:

UOC= IОXС ===.

Амплитуда напряжения на индуктивности:

.

Рис. 11

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности равны по величине, но они сдвинуты по фазе на , так что их сумма равна нулю, а амплитуда напряжения на резисторе равна амплитуде напряжения подаваемого на всю цепь от генератора.

Соотношение амплитуд напряжений UCO , ULO, URO, изображено на векторной диаграмме.

При этом надо подчеркнуть, что в момент резонанса напряжение на активном сопротивлении равно входному напряжению, а напряжения UCO и ULO могут быть много больше входного напряжения.

. Резонанс токов

Рассмотрим цепь, состоящую из двух ветвей, соединенных параллельно. Одна из ветвей содержит конденсатор емкости С, а другая - катушку, индуктивностью L, которая обладает ещё и активным сопротивлением r. К концам цепи приложено переменное напряжение

U=UO sin t.

Для рассмотренной выше последовательной цепи L, C, R сила тока для всех элементов цепи была одинакова, напряжения на элементах цепи откладывались на векторной диаграмме напряжений.