Материал: Лекция2

(15)

Если бы это правило не соблюдалось, то в точках разветвления проводов накапливались бы электрические заряды, меняющиеся со временем и электрическое поле, а потому и токи не могли бы оставаться постоянными.

Уравнение (15) можно написать для каждого из n узлов цепи. Однако независимыми являются только n – 1 уравнение, n-е будет следствием из них.

Второе правило является следствием обобщённого закона Ома и относится к любому, выделенному в разветвлённой цепи замкнутому контуру (см., например, контур 1―2―3―1 на рис. 4). Выберем произвольно направление токов в каждом участке контура. Зададимся направлением обхода (например, по часовой стрелке, как указано на рисунке) и применим к каждому из неразветвлённых участков закон Ома:

При сложении этих выражений потенциалы сокращаются и получается уравнение

(16)

которое выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контре алгебраическая сумма произведений тика равна алгебраической сумме э.д.с., приложенных к этому контуру.

Уравнение (16) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить в данной разветвленной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. Иными словами, если можно выделить m контуров, то независимыми будут уравнения, составленные для m – 1 контура.

Под алгебраической суммой произведений понимается следующее. Если направление тока I_k совпадает с направлением обхода, то берётся о знаком «+», если направление тока I_k противоположно направлению обхода то перед в уравнении (16) ставится знак «–». Э.д.с. Е_k в правой части уравнения (16) берётся со знаком «+», если источник в направлении обхода проходится от «минусого» полюса к «плюсовому», и знак «–», если источник в направлении обхода проходится от «плюсового» полюса к «минусовому».

Мощность тока.

Рассмотрим произвольный участок цепи постоянного тока, к концам которого приложено напряжение U. За время t через каждое сечение проводника проходит заряд q = It. Это равносильно тому, что заряд It переносится за время t из одного конца проводника в другой. При этом силы электростатического поля и сторонние силы, действующие на данном участке, совершают работу

(17)

(напомним, что напряжение U определяется как работа, совершаемая электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда).

Разделив работу А на время t, за которое она совершается, получим мощность, развиваемую током на рассматриваемом участке цепи:

(18)

Воспользовавшись законом Ома (10), получим

(19)

В том случае, если поле Е обладает потенциалом φ, как это имеет место для поля постоянных токов, можно, согласно (3), записать уравнение (18) в виде

(20)

Отношение мощности dР, развиваемой током в объёме проводника dV, к величине этого объёма называется удельной мощностью тока Р_уд, отвечающей данной точке проводника. По определению удельная мощность тока равна

(21)

Условно говоря, удельная мощность есть мощность, развиваемая в единице объёма проводника. Можно показать, что удельную мощность тока можно представить в виде

(22)

Это выражение представляет собой дифференциальную форму интегрального выражения (18). (20).

Закон Джоуля ― Ленца.

В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нём не совершается, работа тока (17) идёт на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего проводник нагревается. Принято говорить, что при протекании тока в проводнике выделяется тепло

(23)

Соотношение (23) было получено экспериментально Джоулем и, независимо от него, Ленцем и носит название закона Джоуля ― Ленца.

Если сила тока меняется со временем, то количество тепла, выделяющееся за время t, вычисляется по формуле

(24)

От формулы (23), определяющей тепло, выделяющееся во всём проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в различных точках проводника. Выделим в проводнике элементарный объём в виде цилиндра. Согласно закону Джоуля ― Ленца за время dt в этом объёме выделится тепло

(25)

( ― величина элементарного объёма).

Разделив выражение (25) на dV и dt, найдём количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени:

(26)

По аналогии с наименованием величины (21), величину Q_уд можно назвать удельной тепловой мощностью тока

Уравнение (26) представляет собой наиболее общую формулировку закона Джоуля ― Ленца, применимую к любым проводникам, вне зависимости от формы, однородности и т. д., наконец, вне зависимости от того, имеем ли мы дело с постоянными или переменными токами.

11