Курсовая работа (т): Изучение игровых моделей и их применение в практике принятия решений

Изучение игровых моделей и их применение в практике принятия решений

ВВЕДЕНИЕ

менеджмент игра управленческий

Каждому опытному управленцу должно быть известно, что один из наиболее эффективных интеллектуальных инструментов менеджера - это теория принятия решений. Отец научного менеджмента Анри Файоль сформулировал основные функции управления одной фразой: "Управлять - значит прогнозировать и планировать, организовывать, руководить командой, координировать и контролировать". Но каждая из этих функций неразрывно связана с принятием решений.

На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.

Целью данной курсовой работы является изучение игровых моделей и их применение в практике принятия решений.

Объектом исследования являются матричные игры.

Предмет исследование: применение игровых моделей в теории принятия решений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

изучить ключевые элементы теории игр;

решить практические задачи, используя игровые модели;

на основе полученных результатов принять решение об оптимальной стратегии игрока.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР

менеджмент игра управленческий

Во многих практических задачах возникают ситуации, когда требуется принять решение, не имея достаточной информации. Неизвестными могут быть как условия осуществления какой-либо операции, так и сознательные действия лиц, от которых зависит успех этой операции. Разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях риска и неопределенности. В некоторых, наиболее простых случаях эти методы дают возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение. В более сложных случаях эти методы доставляют вспомогательный материал, позволяющий глубже разобраться в сложной ситуации и оценить каждое из возможных решений с различных точек зрения, и принять решений с учетом его возможных последствий. Одним из важных условий принятия решений в этом случае является минимизация риска.

При решении ряда практических задач исследования операций (в области экологии, обеспечения безопасности жизнедеятельности и т. д.) приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующие стороны, преследующие различные цели, причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации мы можно отнести к конфликтным ситуациям, а математическим инструментом для их решения является теория игр.

Первую попытку создать математическую теорию игр предпринял в 1921 г. Э.Борель. Как самостоятельная область науки впервые теория игр была систематизировано изложена в монографии Дж. Фон Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” в 1944 г. С тех пор многие разделы экономической теории (например, теория несовершенной конкуренции, теория экономического стимулирования и др.) развивались в тесном контакте с теорией игр.[4, с. 12] Теория игр с успехом применяется и в социальных науках (например, анализ процедур голосования, поиск равновесных концепций, определяющих кооперативные и некооперативные поведения лиц). Как правило, избиратели отводят кандидатов, представляющих крайние точки зрения, но при избрании одного из двух кандидатов, предлагающих различные компромиссные решения, возникает борьба. Даже идея Руссо об эволюции от «естественной свободы» к «гражданской свободе» формально соответствует с позиций теории игр точке зрения на кооперацию.[2, с. 9]

Теория игр является математической теорией конфликтных ситуаций, при помощи которой можно выработать рекомендации по рациональному образу действий участников конфликта. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации без учета второстепенных факторов, строят упрощенную, схематизированную модель ситуации, которая называется игрой. Игра ведется по вполне определенным правилам, под которыми понимается система условий, регламентирующая возможные варианты действий игроков; объем информации каждой стороны о поведении другой; результат игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов.

Каждая формализованная игра (модель) характеризуется:

. количеством субъектов - игроков, участвующих в конфликте;

. вариантом действий для каждого из игроков, называемых стратегиями;

. функциями выигрыша или проигрыша (платежа) исхода конфликта;

Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить ее участников. Это условие легко выполнимо, когда речь идет об обычных играх типа шахмат, канасты и т.п. Иначе обстоит дело с “рыночными играми”. Здесь не всегда просто распознать всех игроков, т.е. действующих или потенциальных конкурентов. Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, надо обнаружить наиболее важных.

Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти действия обозначаются термином “ход”. Действия могут быть связаны с ценами, объемами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т.д. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов. Игра может состоять только их личных или только из случайных ходов, или из их комбинации. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапами игры. Выбранные на каждом этапе ходы, в конечном счете, определяют “платежи” (выигрыш или убыток) каждого игрока, которые могут выражаться в материальных ценностях или деньгах (преимущественно дисконтированная прибыль).

Следующим основным понятием теории игр является понятие стратегии. Стратегия - это априори принятая игроком система решений (вида «если - то»), которых он придерживается во время ведения игры, которая может быть представлена в виде алгоритма и выполняться автоматически. Каждый из участников игры может выбирать свою стратегию. Совокупность стратегий, которые выбрали участники игры, называется игровой ситуацией. Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. определение «оптимальной стратегии» для каждого из них. Оптимальные стратегии характеризуются устойчивостью, то есть ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии. Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Сознавая эти ограничения и поэтому, не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки, если не в точности оптимальной, то, во всяком случае «приемлемой» стратегии. Относительно концепции стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры.

Следует, однако, указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.

Во-первых, это тот случай, когда у предприятий сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно оперировать сопоставлением подобных случаев с учетом определенных различий.

Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.

Классификацию игр можно проводить по различным критериям. Детализированная классификация представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Классификация игр

Игры с ненулевой суммой еще называются антагонистическими играми. Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр. Чтобы решить или смоделировать антагонистическую игру, нужно для каждого игрока указать стратегии, удовлетворяющие условию оптимальности, т.е. игрок A должен получить максимальный гарантированный выигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок B, а игрок B должен получить минимальный проигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок A.

В бескоалиционных играх игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) - игроки могут вступать в коалиции. В кооперативных играх коалиции заранее определены. В этих играх приходится рассматривать не только индивидуальные действия игроков, характерные для бескоалиционных игр, но и коллективные действия игроков, объединяющихся в коалиции. В связи с этим в кооперативных играх нельзя применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.

Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N \ C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2^N, где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме представляется парой (N, v), где N - множество всех игроков, а v : 2^N → R - это характеристическая функция.

По форме выделяют игру экстенсивной и нормальной формы. Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной. Пример экстенсивной игры изображен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Игра в экстенсивной форме для двух игроков

Чтобы найти решение в экстенсивной форме, работа начинается с конца. Для игрока 1 лучшей последовательностью ходов является та, где он зарабатывает 8 очков, а противник только 2. Поэтому игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.

Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.

Игра в нормальной форме (или стратегической форме) состоит из трех элементов: множества игроков, множества чистых стратегий каждого игрока, множества платежных функций каждого игрока. Таким образом, игру в нормальной форме можно представить в виде n-мерной матрицы (таблицы), элементы которой это n-мерные платежные вектора.

Матричная игра - это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока А в виде матрицы. Строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока А, столбец - номеру применяемой стратегии игрока В; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока А, соответствующий применяемым стратегиям.

Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец - стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице - выигрыш игрока 2.)

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

Нормальная форма представления имеет более общий характер. Все внимание концентрируется на стратегическом аспекте игры. Поэтому в данной курсовой работе будут подробно рассмотрены матричные игры, так как представление игры в нормальной форме является наиболее удобным способом решения.

ГЛАВА 2. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ИГР

.1 Матричная игра с нулевой суммой

Матричная игра называется игрой с нулевой суммой, если в этой игре выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого игрока. Каждая матричная игра с нулевой суммой имеет платежную матрицу. Для того чтобы построить эту матрицу, обозначим одного из игроков символом A, а другого − символом B, и предположим, что A₁, A₂, …, A_m − стратегии, которые может применять игрок A, а B₁, B₂, …, B_n − стратегии, которые может применять игрок B. Такая игра называется игрой типа m×n.

Платежная матрица игры будет выглядеть следующим образом:

                                               (2.1.1)

Элементы c_ij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) равны выигрышам игрока A (и проигрышам игрока B) при применении игроками стратегий A_i и B_j соответственно.

Если игрок A выберет стратегию A_i, то все его возможные выигрыши будут элементами i - й строки матрицы C. В наихудшем для игрока A случае, когда игрок B применяет стратегию, соответствующую минимальному элементу этой строки, выигрыш игрока A будет равен числу. Следовательно, для получения наибольшего выигрыша, игроку A нужно выбирать ту из стратегий, для которой число максимально.

Стратегия игрока А, соответствующая наибольшему из чисел, называется максиминной. Если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший, чем число α, при любом поведении игрока В. Число α называется нижней ценой игры и рассчитывается по формуле: