Федеральное агентство связи
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский Технический Университет Связи и Информатики
(МТУСИ)
Кафедра радиотехнических систем
Лабораторная работа
Дискретное преобразование Фурье периодических и конечных последовательностей
Выполнила
студентка группы БРА1101
Тюрина А.В.
Проверила
Мирошникова Н.Е.
Москва 2013
Цели работы
математический дискретный преобразование последовательность
Изучить математическое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) периодических последовательностей и последовательностей конечной длины и овладеть программными средствами его вычисления в MATLAB с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Исходные данные
|
Переменная |
Назначение |
Значение |
Идентификатор |
|
|
Номер бригады |
Nb = 12 |
|||
|
Период (длина) последовательности |
N = 64 |
|||
|
Частота дискретизации |
Fs = 6000 |
|||
|
Период дискретизации |
1/Fs = 0,000167 |
|||
|
Амплитуды дискретных гармоник |
A1 = 1.12 |
|||
|
A2 = 2.24 |
||||
|
Частоты дискретных гармоник |
f1 = 750 |
|||
|
f2 = 1500 |
Домашнее задание
Вариант 12.
1C. Периодическая последовательность с периодом :
Вывести графики амплитудного и фазового спектра периодической последовательности. Определить амплитуды и частоты дискретных гармоник, используя function-файл fft_e1.
function [ output_args ] = Untitled( input_args )
N = 64;
Fs = 6000;
A1 = 1.12;
A2 = 2.24;
f1 = 750;
f2 = 1500;
n = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ВРЕМЯ
k = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНАЯ НОРМИРОВАННАЯ ЧАСТОТА
w1 = 2*pi*f1/Fs; w2 = 2*pi*f2/Fs; % НОРМИРОВАННЫЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК (РАД)
x = A1*cos(w1*n+pi/4)+A2*cos(w2*n+pi/16); % ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
X = fft(x); % ДПФ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
MOD = (2/N)*abs(X); % АМПЛИТУДНЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
MOD(1) = (1/N)*abs(X(1));
PHASE = angle(X); % ФАЗОВЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
for i = 1:N
if (abs(X(i)) < 1e-4)
PHASE(i)=0;
end
end
figure('Name','Amplitude Spectrum','NumberTitle', 'off')
subplot(2,1,1), stem(k,MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
xlabel('k'), ylabel('1/N|X(k)|')
title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))
subplot(2,1,2), stem(k*(Fs/N),MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2),grid
xlabel('f (Hz)'), ylabel('1/N|X(f)|')
title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))
figure('Name','Phase Spectrum','NumberTitle', 'off')
subplot(2,1,1), stem(k, PHASE,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
xlabel('k'), ylabel('arg{X(k)} (rad)')
title(strcat(['Phase Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))
subplot(2,1,2), stem(k*(Fs/N),PHASE,'MarkerSize',3,'Linewidth',2)
grid, xlabel('f (Hz)'), ylabel('arg{X(f)} (rad)')
title(strcat(['Phase Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))
disp('% Выходные параметры функции fft_e1')
e1 = 1e-7; % ЗНАЧЕНИЕ ПОРОГА ДЛЯ ПЕРВОГО КРИТЕРИЯ
[MODm,m] = fft_e1(MOD,e1) % ВНЕШНЯЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУД И ЧАСТОТ ГАРМОНИК ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ПО ПЕРВОМУ КРИТЕРИЮ
A1 = MODm(1); A2 = MODm(2); % АМПЛИТУДЫ ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК
k1 = m(1); k2 = m(2); % ДИСКРЕТНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ЧАСТОТЫ
f1 = k1*Fs/N; f2 = k2*Fs/N; % ЧАСТОТЫ (Гц) ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК
disp('% Амплитуды и частоты дискретных гармоник')
disp([' A1 = ' num2str(A1) ' A2 = ' num2str(A2)])
disp([' k1 = ' num2str(k1) ' k2 = ' num2str(k2)])
disp([' f1 = ' num2str(f1) ' f2 = ' num2str(f2)])
end
% Выходные параметры функции fft_e1
MODm =
1.1200 2.2400 2.2400 1.1200
m =
8 16 48 56
% Амплитуды и частоты дискретных гармоник
A1 = 1.12 A2 = 2.24
k1 = 8 k2 = 16
f1 = 750 f2 = 1500
2С. Конечная последовательность длины .
Вывести графики модуля и аргумента ДПФ конечной последовательности.
function [ output_args ] = Untitled2( input_args)
A1=1.12;
A2=2.24;
f1=750;
f2=1500;
N=64;
Fs=6000;
n = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ВРЕМЯ
k = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНАЯ НОРМИРОВАННАЯ ЧАСТОТА
w1 = 2*pi*f1/Fs; w2 = 2*pi*f2/Fs; % НОРМИРОВАННЫЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТНЫХ ГАРМОНИК (РАД)
x = A1*cos(w1*n+pi/4)+A2*cos(w2*n+pi/16);
X = fft(x); % ДПФ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
MOD_K = abs(fft(x)); % МОДУЛЬ ДПФ КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
MOD_P = angle(fft(x)); % АРГУМЕНТ ДПФ КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
figure('Name','DFT Modulus and Argument', 'NumberTitle','off')
subplot(2,1,1), stem(k,MOD_K,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(2,1,2), stem(k,MOD_P,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
end
3С. Конечная последовательность длины :
где
Вывести графики конечных последовательностей и и модулей их ДПФ.
function [ output_args ] = Untitled3( input_args)
A1=1.12;
A2=2.24;
N=64;
Fs=6000;
f1=750;
f2=1500;
k=0:(N-1);
n=0:(N-1);
w1=2*pi*f1/Fs;
w2=2*pi*f2/Fs;
u=0:(N/2-1);
c=N/2:(N-1);
x1=A1*cos(w1.*u);
x2=A2*cos(w2.*c);
x=[x1 x2];
Mod_K=abs(fft(x));
Mod_K1=abs(fft(x1));
Mod_K2=abs(fft(x2));
subplot(3,2,5), stem(n,x, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(3,2,6),stem(k,Mod_K, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(3,2,1),stem(u,x1, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(3,2,3),stem(c,x2, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(3,2,2),stem(u,Mod_K1, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(3,2,4),stem(u,Mod_K2, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
4С. Цифровой единичный импульс на интервале .
Вывести графики цифрового единичного импульса и модуля его ДПФ.
function [ output_args ] = Untitled4(input_args)
N=64;
x = [1 zeros(1,(N-1))];
n = 0:(N-1);
k = 0:(N-1); % ДИСКРЕТНАЯ НОРМИРОВАННАЯ ЧАСТОТА
X = fft(x); % ДПФ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
MOD_K = abs(fft(x)); % МОДУЛЬ ДПФ КОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
figure('Name','DFT Modul', 'NumberTitle','off')
subplot(2,1,1), stem(n,x,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
subplot(2,1,2), stem(k,MOD_K,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
end
5С. Последовательность с однотональной амплитудной модуляцией:
Задать значения , , , , , и период последовательности .
Вывести графики последовательности и ее амплитудного спектра.
function [ output_args ] = Untitled1(input_args)
N=64;
Fs=6000;
n = 0:(2*N);
k = 0:(2*N);
w = (2*pi)/4;
x = 1+0.5*cos((w/4)*n).*cos(w*n); % ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
X = fft(x);
MOD = (2/N)*abs(X); % АМПЛИТУДНЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
MOD(1) = (1/N)*abs(X(1));
figure('Name','Periodic Sequence','NumberTitle','off')
subplot(3,1,1), stem(n,x, 'MarkerSize',3,'Linewidth',2)
grid, xlabel('n')
ylabel('x(n)'), title(strcat(['Periodic Sequence x(n) N = ',num2str(N)]))
subplot(3,1,2), stem(n/Fs,x,'MarkerSize',3,'Linewidth',2)
grid, xlabel('nT')
ylabel('x(nT)'), title(strcat(['Periodic Sequence x(nT) N = ',num2str(N)]))
x = ifft(X); % ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ПОМОЩЬЮ ОДПФ
subplot(3,1,3), stem(n,x,'MarkerSize',3,'Linewidth',2)
grid, xlabel('n')
ylabel('x(n)'), title(strcat(['Periodic Sequence x = ifft(X) N = ',num2str(N)]))
figure('Name','Amplitude Spectrum','NumberTitle', 'off')
subplot(2,1,1), stem(k,MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2), grid
xlabel('k'), ylabel('1/N|X(k)|')
title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))
subplot(2,1,2), stem(k*(Fs/N),MOD,'MarkerSize',3,'Linewidth',2),grid
xlabel('f (Hz)'), ylabel('1/N|X(f)|')
title(strcat(['Amplitude Spectrum of the Periodic Sequence N = ',num2str(N)]))
end
6С. Последовательность :
Задать частоту дискретизации Гц.
Вывести графики последовательности на интервале с шагом и модуля её ДПФ.
function [ output_args ] = Untitled1(input_args)
Fs=2000;
N=64;
K=-15:1/Fs:15;
T=1/Fs;
n=(-500*(N-1)*T):T: (500*(N-1)*T);
f=sin(pi.*n);
x=f./(pi.*n);
Mod_K=abs(fft(x));
subplot(2,1,1) ,stem(n,x, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid
subplot(2,1,2),stem(n,Mod_K, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid
end.
Fs=2000;
N=64;
T=1/Fs;
n=(-500*(N-1)*T):T: (500*(N-1)*T);
k=-500*(N-1):1: 500*(N-1);
f=sin(pi.*n);
x=f./(pi.*n);
y=fft(x);
Mod_K=abs(y);
subplot(2,1,1) ,stem(n,x, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid
subplot(2,1,2),stem(k,Mod_K, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid
7C. Гауссов радиоимпульс:
.
Задать и .
Вывести графики последовательности на интервале и модуля ее ДПФ.
function [ output_args ] = Untitled1(input_args)
N=64;
n=(-3*(N-1)):(3*(N-1));
a=0.0005;
w0=pi/12;
f1=750;
Fs=6000;
w1 = 2*pi*f1/Fs;
x=exp(-a.*n.^2).*cos(w1.*n);
Mod_K=abs(fft(x));
subplot(2,1,1) ,stem(n,x, 'markersize',2,'Linewidth',2), grid
subplot(2,1,2),stem(n,Mod_K, 'markersize',3,'Linewidth',2), grid
end.
Выполнение работы
Вариант 12.
1. Вычисление амплитудного и фазового спектров периодической последовательности (идентификатор x) с периодом :
используя её тождественное представление в виде:
Графики последовательности на периоде N в шкале:
дискретного нормированного времени (идентификатор n);
дискретного времени (идентификатор nT).
Амплитудный спектр последовательности и его гармоники в шкале:
дискретных нормированных частот (идентификатор k);
абсолютных частот (Гц) (идентификатор f).
Фазовый спектр последовательности и его гармоники в шкале:
дискретных нормированных частот (идентификатор k);
абсолютных частот (Гц) (идентификатор f).
2. Вычисление ДПФ конечной последовательности.
Графики в шкале дискретных нормированных частот:
модуля ДПФ (идентификатор MOD_K) конечной последовательности;
амплитудного спектра периодической последовательности (см. п. 1).
3. Определение амплитуд и частот дискретных гармоник.
Выходные параметры function-файла fft_e1:
MODm =
1.1200 2.2400 2.2400 1.1200
m =
8 16 48 56
Значения амплитуд, дискретных нормированных частот и абсолютных частот гармоник:
A1 = 1.12 A2 = 2.24
k1 = 8 k2 = 16
f1 = 750 f2 = 1500
4. Граничные значения порогов для первого и второго критериев выделения полезного сигнала.
Для аддитивной смеси граничное значение порога:
для первого критерия;
e1_low = 0.27847 e1_up = 1
для второго критерия;
e2_low = 1.4591 e2_up = 18.8165
5. Выделение полезного сигнала по первому критерию.
График аддитивной смеси на периоде :
График амплитудного спектра аддитивной смеси в шкале дискретных нормированных частот и график амплитудного спектра аддитивной смеси , нормированного к его максимальному значению):
Значение e1:
e1 = 0.27847
Выходные параметры function-файла fft_e1.
MODm =
1.2696 2.4650 2.4650 1.2696
m =
8 16 48 56
6. Выделение полезного сигнала по второму критерию.
График амплитудного спектра аддитивной смеси в шкале дискретных нормированных частот и график квадрата амплитудного спектра аддитивной смеси , нормированного к ее средней мощности:
Значение e2:
e2 = 1.4591
Выходные параметры function-файла fft_e2.
MODm =
1.2696 2.4650 0.6864 0.6864 2.4650 1.2696
m =
8 16 24 40 48 56
7. Восстановление аналогового сигнала.
Восстановить периодический аналоговый сигнал (идентификатор ха) по отсчетам ДПФ периодической последовательности . Для вычисления значений сигнала использовать формулу , задавая значением времени t (идентификатор t) на интервале с шагом .
В тех же точках вычислить значения исходного аналогового сигнала (идентификатор xt), на основе которого получена последовательность .
Графики периодической последовательности и модуля ее ДПФ; восстановленного аналогового сигнала и его амплитудного спектра (идентификатор MODa); исходного аналогового сигнала .
8. Восстановление спектральной плотности конечной последовательности.
Вычислить значения спектральной плотности конечной последовательности длины в точках на периоде двумя способами:
по формуле - идентификатор xw;
по формуле - идентификатор xz.
Вывести графики модуля ДПФ конечной последовательности в шкале дискретных нормированных частот с помощью функции stem; модулей спектральной плотности, вычисленной первым и вторым способами в шкале частот (идентификатор w) с помощью функции plot.
9. Уменьшение периода дискретизации по частоте при вычислении ДПФ.
Сформировать три конечные последовательности (вектор zx) с длинной (вектор L), дополняя их нулями до длины при .
Вычислить ДПФ данных последовательностей (вектор xz).
Графики исходной последовательности и последовательностей, дополненных нулями; их модулей ДПФ в шкале дискретных нормированных частот (пунктиром - помощью функции stem) и одновременно -- восстановленных спектральных плотностей (с помощью функции plot красным цветом).
Значения периодов ДПФ (вектор L) и соответствующих им периодов крепитации по частоте (вектор Delta_f).
L = [64 128 256]
Delta_f = [93.75 46.875 23.4375]