4
Институт проблем точной механики и управления РАН
Динамика гиростата в радиационном силовом поле
Н.Н. Макеев
Введение
В динамически активных средах могут проявляться воздействия негравитационных силовых полей. К такого рода полям относится радиационное силовое поле или поле сил светового давления (СД-поле), порождающим фактором которого является источник светового излучения. Этот источник генерирует световую волну, взаимодействующую со средой её распространения и вызывающую эффект светового давления. Световое давление ? это один из пондеромоторных эффектов светового излучения, связанный с передачей импульса электромагнитного поля. Это давление является распределённой поверхностной силой, величина которой пропорциональна плотности энергии светового потока и зависит от оптических свойств освещаемой поверхности. Исследование свойств движения твёрдых тел в этом поле является проблемой прикладной радиационной механики [1].
Теоретически и практически значимой задачей динамики твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижного полюса, является задача нахождения точных частных решений уравнений движения тела в потенциальном силовом поле. Несмотря на весьма незначительную аналитическую базу таких решений, они имеют существенное значение. Именно точные частные решения являются носителями основной информации о характерных особенностях движения твёрдого тела и вместе с тем позволяют оценивать возможности применения приближённых методов нахождения решений уравнений движения [2].
До настоящего времени не найдены какие-либо общие методы построения частных решений систем уравнений движения твёрдого тела и гиростата. В силу этого при нахождении таких решений часто приходится предугадывать возможные зависимости, связывающие переменные данной задачи. Зависимости такого рода в задачах классической механики, относящиеся к движению твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в гравитационном поле, содержатся в исследованиях Н.Е.Жуковского [3], В.Вольтерра [4] и применялись в работе [5]. В этих работах авторы, задавая возможный вид искомого решения, успешно реализовали гипотетические зависимости, связывающие между собой переменные решаемых ими задач.
Нахождению точных частных решений систем уравнений движения твёрдых тел способствует процедура редуцирования; её применение имеет принципиальное значение [2]. Рациональное использование этой процедуры способствует нахождению независимого дополнительного первого интеграла, часто приводящего к получению инволютивной системы интегралов, либо непосредственно к набору частных решений.
В настоящей работе частные решения системы уравнений движения гиростата в СД-поле находятся как путём её редуцирования, так и путём априорного задания зависимостей, связывающих переменные рассматрива-емой задачи.
1. Предварительные положения
Рассматривается движение в СД-поле свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая часть (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса О, неизменно связанного с инерциальным пространством. С телом-носителем гиростата неизменно связан светоотражающий экран в виде тонкой недеформируемой оболочки неизменной конфигурации с заданными постоянными термомеханическими параметрами. На экран падает однородный световой поток в виде пучка параллельных световых лучей.
Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис Z(Oz1z2z3), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox1x2x3), оси которого направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата. Пусть s (s1, s2, s3) - гелиоцентрический орт, устанавливающий ориентацию светового потока относительно связанного базиса. Этот вектор является направляющим ортом светового потока, ориентированным против направления падающих на экран пучка параллельных лучей света.
При определённых ограничениях, принятых для термомеханической модели [6], СД-поле является консервативным.
Обозначим: - матрица тензора инерции гиростата в полюсе О; - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; - постоянный гиростатический момент, заданный в базисе X.
Движение гиростата в однородном параллельном СД-поле рассматривается на основе термомеханической модели взаимодействия светового потока с твёрдой поверхностью, учитывающей эффект переизлучения (в тепловом диапазоне) мощности, поглощаемой твёрдой поверхностью [6]. Этой модели соответствует система уравнений [7]
В уравнениях (1) обозначено
где n1, n2 - заданные постоянные термомеханические параметры, характеризующие тепло-физические и оптические свойства светоотражающего экрана.
Уравнения (1) образуют нелинейную многопараметрическую систему, характеризующую движение гиростата в СД-поле с одномерным квадратичным потенциалом [8]
Подсистема динамических уравнений (1) имеет множества особых точек: точка s (0, 0, 1) и при n2 ? 0 множество s (s1, s2, где значение соответствует условию
Пусть - вектор углов Эйлера, определяющий ориентацию координатного базиса X относительно координатного базиса Z конфигурационного пространства; s (sj) ? направляющий орт, для которого
В дальнейшем рассматривается движение, при котором для любого момента времени t выполняются условия
где m1, m2 - заданные постоянные.
Эти условия определяют сложное движение, составленное из равномерного прецессирования и равномерного собственного вращения носителя соответственно. Данное дви-жение является обобщённой прецессией, которая при условии (t переходит в регулярную прецессию, порождаемую силами радиационного СД-поля.
Ставится следующая задача: найти точные решения системы уравнений (1) в конечной замкнутой форме, если они существуют при некоторых заданных ограничениях, налагаемых на характеристики движения гиростата, а также условия существования этих решений.
2. Редуцирование динамической системы
Введём условие осевой кинетической симметрии
Дифференцируя по t третье уравнение системы (1), в силу остальных уравнений этой системы при условии (4) имеем
где обозначено
Непосредственно из системы уравнений (1) получаем
Введём геометрическую связь [8]
которая, согласно соотношениям (2), эквивалентна связи
где обозначено
Наличие связи с уравнениями (7), (8) является одним из условий существования линейного по компонентам щj независимого интеграла системы уравнений (1) [8, 9]. Согласно условию (7) вектор (kортогонален оси Ox3 базиса X. При этом в соответствии с ограничением (8) движение гиростата может быть реализовано либо по углу ц с ограничением K (ц) = 0, либо по углу и в режиме "спящего волчка" (при и = 0 или и = р). Однако, в силу условия ? 1 < s3 < 1, связь (8) реализуется в виде
(А)
Из соотношений (6) на связи (А) непосредственно следует
в силу чего уравнение (5) принимает вид
В уравнении (10) обозначено
Из кинематического уравнения Эйлера для щ3 в силу заданных условий (3) следует
Исключая из соотношений (10), (11) величину s3, в результате получаем
где обозначено
Таким образом, в результате редуцирования из системы уравнений (1) выделено одно определяющее для функции u (t) уравнение (12). Это уравнение можно рассматривать как квазилинейное, характеризующее одномерные колебания нелинейного осциллятора в пространстве с координатой u. В частности, при б = 0, b ? 0 и при соответствующем выборе значения параметра k3 уравнение (12) принимает вид уравнения Дуффинга (случай жёсткой упругой силы) [10].
Уравнение (12) обладает первым интегралом
с полиномом
где обозначено
Здесь и всюду далее нулевой верхний индекс соответствует значению величины в начальный момент времени t = 0.
Из уравнения (13) непосредственно следует квадратура
где знак правой части выбирается из условия t > 0. При этом
Пусть ? нуль полинома (14). Тогда из квадратурной зависимости (15) в результате её обращения согласно [11] получаем решение уравнения (13) в форме
Где
Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной u.
В равенстве (16) ? символ эллиптической функции Вейерштрасса [11] c инвариантами
Решение определяющего уравнения (13) в виде (16), согласно существующей классификации [12], представлено второй формой Вейерштрасса.
В силу соотношений (11), (16) имеет место зависимость
где up = m2.
Система уравнений (1) имеет интеграл энергии [8]
где потенциал СД-поля согласно [6] равен
h - постоянная интегрирования. При условии (4) и обозначениях (9) интеграл (18) принимает вид
Из третьего уравнения системы (1) при тех же условиях следует
где согласно зависимости (16)
Согласно соотношениям (16), (17), определяющим зависимости u (t), s3 (t), правые части равенств (19), (20) являются известными функциями от t. Обозначая их F1 (t), F2 (t), соответственно из системы уравнений (19), (20) при получаем
(21)
где обозначено
Q - параметр, находящийся в уравнении (10).
Из кинематических уравнений Эйлера и уравнений Пуассона в силу условий (3) имеем
где величины
определяются зависимостями (16), (17) как известные функции времени t. В силу этого согласно соотношениям (21), (22) из системы уравнений (23) при F1 ? 0 следует (j = 1, 2)
Соотношения (25) в силу представлений (21), (22), (24) определяют явные зависимости sj (t) (j = 1, 2).
Согласно зависимости (11) для потенциала СД-поля имеем
где k = 2n1m1 - n2m2. Тогда в силу равенств (11), (19), (26) получаем
где обозначено
Равенство (27) является уравнением несущей поверхности (НП) в пространстве переменных щj (j = 1, 2, 3), на которой расположен годограф вектора щ, отнесённый к базису X (подвижный годограф вектора щ по терминологии [2]). При этом данный годограф для задаётся параметрическими зависимостями (16), (21), (22). Поскольку представления (21), (22) при двухзначны, то имеют место два различных годографа данного вектора.
При h2 ? 0 НП (27) является центральной; в ином случае эта поверхность - нецентральная.
Обозначим
Если величины д1, д2 не положительны, то при ? = 0 НП является конусом второго порядка, а при ? ? 0 - гиперболоидом (одно- или двуполостным). Если при тех же условиях параметры д1, д2, ? положительны, то НП - эллипсоид.
В случае, при котором h2 = 0 (когда A3m12 = n2), НП - либо параболоид, если h1 ? 0, либо цилиндр, если h1 = 0 (в последнем случае имеем n1m1 - n2m2 = 0).
Таким образом, данное движение полностью определено найденными явными зависимостями переменных (j = 1, 2, 3) для на связи (А). При этом согласно соотношениям (21), (22) в этом движении в общем случае имеют место два скоростных по щ1, щ2 режима состояния.
3. Движения на линейной связи
Применяемая здесь линейная связь рассматривается как априорно заданная линейная зависимость между переменными s, щ, содержащая неопределённые параметры. Такого рода зависимость применялась, в частности, в известных работах П.В.Харламова о движении твёрдого тела по инерции в идеальной жидкости, которое ограничено многосвязной поверхностью.
3.1 Определяющая система уравнений
Из многообразия возможных движений, порождаемых системой уравнений (1) и в общем случае не подчинённых условиям (3), выделим движения (допуская, что они существуют), удовлетворяющие для зависимости
где матрица и вектор C = = заранее не заданы и подлежат определению.
Согласно равенству (28)
где в дальнейшем предполагается, что Bj ? 0 (j = 1, 2, 3) и n2 ? 0.
Исключая из уравнений системы (1) все величины sj в силу зависимостей (29), в ре-зультате получаем
В уравнениях системы (30) обозначено
Примечательно, что уравнения системы (31) структурно идентичны уравнениям задачи о движении по инерции гиростата с соответствующими кинетическими параметрами [3, 4]. Уравнения системы (30) соответствуют уравнениям задачи о движении гиростата с реактивным приводом в режиме авторегулирования (задача Р.Граммеля) [13].
Очевидно, что соответствующие уравнения систем (30), (31) в силу соотношений связи (29) должны быть структурно идентичны относительно переменных щj (j = 1, 2, 3). Следовательно, эти уравнения совместны при выполнении следующих условий:
Система (32)?(37) содержит 11 однородных уравнений с шестью неизвестными Bj, Cj (j = 1, 2, 3), определение которых сводится к нескольким следующим вариантам. Каждый из этих вариантов соответствует определённо-му режиму движения гиростата в СД-поле, удовлетворяющему гипотезе (28), и базируется на определённом частном решении системы уравнений (1). гиростат давление редуцирование скорость
Замечание. Поставленная задача, реализуемая на связи (28) и сводящаяся к решению системы уравнений (32)?(37), решается с введением некоторого произвольного параметра. Аналогичный приём был применён в другой задаче [5], где также была использована связь вида (28). ?
В дальнейшем рассматриваются решения, имеющие место при условии осевой кинетической симметрии гиростата (4), в силу которого из ограничения (32) следует