и условие (32) тождественно удовлетворяется.
Согласно условиям (4),
вследствие чего четыре условия (34), (36) сводятся к соответствующим двум независимым ограничениям.
3.2 Движение первого рода
В соответствии с условиями (37) положим
Тогда из последнего условия (40) следует
В силу условий (40) выражения для s1, s2, определяемые равенствами (29), становятся однородными. При этом согласно ограничению (41)
Согласно условиям (39), (40) из ограничений (33), (35) получаем
в силу чего Q1 = Q2 = 0. Тогда определяющая система уравнений (32)?(37) сводится к соотношениям
к которым присоединяется ограничение (38).
В соответствии со структурой системы уравнений (31) введём произвольный безразмерный параметр л1 ? 0 такой, что
Из уравнения (44) в силу равенства (45) следует
откуда
где обозначено
Согласно соотношениям (43), (46), (47) получаем
В силу решения (47), (48) и зависимостей (4), (38), (40) система уравнений (31) принимает каноническую (нормализованную) форму
где обозначено
При этом начальные значения компонент щj удовлетворяют условиям
В пространстве переменных щj (j = 1, 2, 3) (щ-пространстве) система уравнений (49) соответствует системе трёх линейных осцилляторов, совершающих свободные колебания вдоль прямой линии. Эти осцилляторы связаны между собой последовательно линейной упругой связью, при которой частоте ?1 = 0 отвечает равномерное поступательное движение системы, а частоте ?1 ? 0 - продольные свободные колебания её крайних осцилляторов. Структура данной одномерной системы осцилляторов идентична структуре известной классической модели линейной трёхатомной молекулы [14, 15].
Условие невырожденности системы осцилляторов (49) есть
где а величина определяется равенством (50).
Таким образом, решение системы уравнений (1), подчиняющееся гипотезе (29) при условиях (40) и
(В)
представляется в виде
Постоянные в равенствах (51) определяются соотношениями
а параметры в равенствах (52), (53) ? формулами (47), (48). В условии (В) величина является проекцией начального кинетического момента гиростата на ось Ox3.
Согласно зависимостям (51) несущей поверхностью для подвижного годографа вектора щ в щ-пространстве является круговой цилиндр
с образующими, параллельными оси Ox3. При этом параметры данной задачи связаны тождеством
где определяется равенством (53).
Из кинематических уравнений Эйлера в силу соотношений (53), (54) для следуют условия
определяющие регулярную прецессию гиростата. При этом
где знак правой части равенства соответствует определённому направлению прецессирования гиростата.
Таким образом, решение (51)?(53) системы уравнений (1), существующее при условиях (4), (40), (42), соответствует регулярной прецессии гиростата, совершаемой при моментно-силовом воздействии радиационного СД-поля. При этом подвижным годографом вектора угловой скорости гиростата щ, как известно [2], является плоская кривая.
3.3 Движение второго рода
Рассмотрим другое решение системы уравнений (1), принимая вместо ограничений (40) условие G3 = 0, из которого непосредственно следует
При потенциал СД-поля U (s3) имеет локальный экстремум, характер которого определяется знаком параметра n2.
Введём условия
к которым присоединим ограничения (4), (38).
В силу условий (4), (38), (56) ограничения (32), (37) тождественно удовлетворяются, а остальные уравнения образуют систему, состоящую из уравнений
и присоединённого уравнения в форме (44).
Из уравнения (60) согласно условию (56) имеем
а из уравнения (44) следует
Согласно зависимости (62) из уравнений (59) находим
Из уравнений (58) в силу соотношений (61)?(63) следует ограничение, налагаемое на компоненту гиростатического момента
К зависимости (64) следует присоединить условия (57), (62) для k3.
Подставляя выражение (64) в соотношения (61)?(63), в результате получаем
Таким образом, для решения системы уравнений (1), подчинённого гипотезе (29) и условию (56), согласно равенствам (65) имеем
Система уравнений (31) в силу соотношений (65) становится линейной, обладающей первым интегралом
где
Q0 - определённая постоянная. Наличие интеграла (67) позволяет, применяя процедуру редуцирования данной системы, выделить из неё определяющее уравнение
где обозначено
причём значение параметра k3 определяется равенством (64).
Согласно зависимости вида щ3 (t), являющейся решением уравнения (68), для компонент щ1, щ2 аналогично предыдущему получаем определяющие уравнения
Зависимости sj (t) (j = 1, 2, 3) определяются соотношениями (66) в силу решений уравнений (69).
Уравнения (69) имеют структуру, сходную со структурой уравнений (49), соответствующих регулярному движению гиростата, в силу чего данное его движение в определённом смысле является квазирегулярным.
Движение гиростата в данном режиме можно характеризовать движением апекса оси его кинетической симметрии на сфере единичного радиуса с центром в полюсе О, находящейся в пространстве координат. Для этого из кинематических уравнений Эйлера очевидным образом получим соотношения, выражающие скорости изменения углов Эйлера
Здесь с - дробно-квадратичная функция переменных щj (j = 1, 2, 3) в силу равенств (66) и решений уравнений (68), (69).
Из уравнений (70) при заданных начальных значениях известным образом могут быть найдены явные выражения, определяющие вектор-функцию
3.4 Движение третьего рода
Рассмотрим случай, при котором для критического значения C3 (56) выполняются не все условия (57).
Для дальнейшего примем структурно-кинетические условия (4), (42), а также второе условие (62) и ограничение
В силу принятых ограничений из соотношений (32), (33) получаем условия (38) и первые два ограничения (40); при этом условия (35), (37) тождественно удовлетворяются. Из уравнений (34), (36) при ограничении (71) соответственно получаем выражение (61) и определяющее равенство
В результате соотношения связи (29) для данного движения принимают вид
где параметр B3 определяется равенством (72).
Согласно соотношениям (73) аналогично предыдущему получаем следующую определяющую систему уравнений:
где обозначено
причём параметр b определяется соответствующим равенством (9).
Система уравнений (74) при данных условиях также непосредственно следует из уравнений (31).
Условие невырожденности системы осцилляторов (74) имеет вид
а её решение при начальных условиях
и условии идентично осцилляциям (51) с собственной частотой ?3 (75).
Геометрическая интерпретация данного решения качественно идентична истолкованию решения, существующему при движении первого рода. В этом случае аналогичным образом можно показать, что для значений выполняются условия (55), в силу чего гиростат, как и в случае движения первого рода, совершает регулярную прецессию.
Заключение
Рассмотренная задача относится к классу задач о радиационном моментно-силовом приводе [1], описывающих динамику твёрдых тел в силовом СД-поле. Полученные частные решения уравнений движения гиростата и условия их существования определяют его регулярные и квазирегулярные движения, име-ющие место на многообразии возможных дви-жений. Как было показано [16], ограничения (4), (42) составляют условие существования регулярной прецессии гиростата в СД-поле.
Исследуемое в п. 2 движение, подчинённое условиям (3), имеет значимость в связи с изучением состояния гиростата, непосредственно предшествующего его последу-ющей стабилизации по углам ш, ц. В силу этого данное движение можно рассматривать как некоторое переходное состояние, поддерживаемое силами СД-поля. При этом величина работы, совершаемой этими силами на поддерживание этого состояния, в силу уравнений системы (1) и соотношения (11) с точностью до аддитивной постоянной равна
где обозначено
Инициирование данного состояния гиростата рассматривается как предварительный шаг, на основе которого последующее активное управление движением гиростата, сформированное определённым образом, может привести к его требуемому стационарно ориентированному финальному состоянию.
Значимым является следующий факт. Априорная линейная зависимость (28) при на-личии осевой структурно-динамической симметрии гиростата приводит к линейным по щj (j = 1, 2, 3) определяющим системам уравнений (49), (68), (69), (74). Эта особенность составляет характерное динамическое свойство радиационного СД-поля.
Примечательно, что редуцированное из системы (1) уравнение (12), представленное на фазовой плоскости в виде
по структуре идентично уравнению уединённой одномерной стоячей волны горения при отсутствии диффузии [17]. Это указывает на изоморфизм математических моделей, применяемых в данных задачах.
Моделями данного класса могут являться также и некоторые упорядоченные структуры различной физической природы. В частности, к ним относятся системы однотипных осцилляторов (решётка), одномерные монокристаллы и другие модельные объекты. Например, модель одномерного кристалла имеет весьма большое значение для установления термодинамических свойств твёрдых тел [18].
Список литературы
Джуманалиев Н.Д., Киселёв М.И. Введение в прикладную радиационную небесную механику. Фрунзе: Илим, 1986. 201 с.
Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1986. 296 с.
Жуковский Н.Е. О движении твёрдого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью // Собр. соч.: в 7 т. М.; Л.: Гостехиздат, 1948?1950. Т. 2, 1949. С. 152?309.
Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta Mathematica. Stockholm, 1899. T. 22. P. 201?358.
Харламова Е.И. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закреплённую точку // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 733?737.
Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т. 30. Вып. 3. С. 312?320.
Макеев Н.Н. Маятниковое движение гиростата в световом потоке // Доклады Российской академии естественных наук. Саратов. 2002. № 3. С. 5?17.
Макеев Н.Н. Интегралы динамики гиростата в световом потоке // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 3(22). С. 50-58.
Макеев Н.Н. Поле интегралов динамики гиростата в световом потоке // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4(23). С. 39-46.
Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.
Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. М.: Физматгиз. Ч. 2, 1963. 516 с.
Герасимов И.А. Функции Вейерштрасса и их приложения в механике и астрономии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 152 с.
Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика. Период. сб. перев. инос. ст. 1958, № 6. С. 145?151 / Оригинал: Grammel R. Ingenieur-Archiv. 1954. Bd. 22. S. 73?97.
Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. 408 с.
Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 173 с.
Макеев Н.Н. Устойчивость регулярной прецессии гиростата в световом потоке // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский университет. Пермь, 2001. Вып. 33. С. 60?74.
Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием количества вещества // Вопросы кибернетики. М.: Изд-во Акад. наук. 1975. Вып. 12. С. 3.
Хаар тер Д. Основы гамильтоновой механики / Пер. с англ. М.: Наука, 1974. 224 с.
Аннотация
Приводятся точные частные решения уравнений движения гиростата, движущегося в поле сил светового давления, и условия их существования.
Ключевые слова: частные решения системы уравнений; гиростат; световое давление.
A precise particular solutions of the equations motion gyrostat, moving in the field forces of light pressure and the conditions of their existence are described in this article.
Key words: particular solutions of the system equations; gyrostat; pressure of a light.