Статья: Анализ моделей для электромагнитного расчета силовых трансформаторов

УДК 621.321

ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет

имени В.И. Ленина»

Анализ моделей для электромагнитного расчета силовых трансформаторов

И.А. Пайков

А.И. Тихонов

В связи с ростом конкуренции на рынке электротехнической продукции в настоящее время новый акцент приобретает проблема снижения себестоимости производства силовых трансформаторов. Одним из главных путей снижения себестоимости состоит в уменьшении стоимости активных материалов. В связи с этим необходимым этапом проектирования силовых трансформаторов является этап оптимизации проекта. Полученное оптимальное решение оказывается, как правило, в предельно допустимой зоне по электромагнитным нагрузкам, что предъявляет повышенные требования к точности моделей, используемых при поверочном расчете. Поэтому современное проектирование немыслимо без использования CAE-систем, позволяющих рассчитывать физические поля численными методами (как правило, методом конечных элементов).

Одним из наиболее важных расчетов трансформатора, от которого требуется высокая точность, является расчет магнитного поля, что позволяет, в частности, смоделировать работу трансформатора в динамических режимах. При этом большое значение имеет точность расчета потоков рассеяния.

Особенность конструкции трансформатора ставит под сомнение возможность сведения полевой задачи к двухмерной постановке. В то же время для расчета трехмерных физических полей в нелинейной постановке задачи в некоторых случаях может потребоваться до нескольких часов, что в условиях сжатых сроков проектирования недопустимо, особенно в мелкосерийном и штучном производстве.

Таким образом, была поставлена задача анализа возможностей использования двухмерных моделей для расчета магнитного поля силовых трансформаторов без потери точности, достигаемой в трехмерных моделях.

Для решения задачи был взят трансформатор ТМГ-1000-10/0,4. 3D- и 2D-модели данного трансформатора представлены на рис. 1, 2. Расчет магнитного поля осуществлялся при амплитудном значении тока холостого хода, протекающего в обмотке высшего напряжения (ВН), расположенной на втором (среднем) стержне. По результатам расчета определялся основной магнитный поток

и поток рассеяния

,

где - значения магнитного потока, пронизывающего срединные сечения 1, 2 и 3-го стержней.

Результаты расчета представлены в табл. 1.

Таблица 1. Результаты расчета потоков трансформатора ТМГ-1000-10/0,4

Рис. 1. 3D-модель трансформатора ТМГ-1000-10/0,4

Рис. 2. 2D-модель трансформатора ТМГ-1000-10/0,4

При двухмерной постановке задачи величина магнитного потока в i-м стержне рассчитывалась по формуле

где - значения векторного магнитного потенциала в точках, расположенных на концах отрезка, проведенного вдоль срединного сечения i-го стрежня; d - диаметр стержня;

kпр - коэффициент приведения трехмерной модели к двухмерной.

Так как сечение стержня трансформатора представляет собой ступенчатую фигуру, вписанную в окружность, то двухмерная постановка полевой задачи, строго говоря, некорректна. Поэтому в формулу (3) введен коэффициент приведения kпр, вычисляемый из условия равенства активного сечения стержня S3D приведенному сечению прямоугольного стержня S2D, реализованного в 2D-модели, т. е.

при этом

где b1 - ширина первого пакета стержня; kкр - коэффициент заполнения круга сталью; kс - коэффициент заполнения стали.

Рассчитанное таким образом значение основного потока дает хорошее совпадение (расхождение 2,26 %) со значением, полученным из расчета 3D-модели (см. табл. 1). Для инженерных расчетов с использованием конечно-элементных моделей допустимым можно считать погрешность в 5 %.

Что касается потока рассеяния, то расхождение в результатах, вычисленных по двум моделям, приближается к 100 %. В то же время можно отметить, что значение потока рассеяния, полученное из 3D модели, приблизительно в 100 раз меньше значения основного потока, т. е. находится в зоне погрешности конечно-элементной модели. В связи с этим определение такой малой величины не совсем корректно при данной постановке конечно-элементной задачи, как в трехмерной модели, так и в двухмерной. То есть поток рассеяния, а следовательно, и индуктивность рассеяния обмоток трансформатора следует осуществлять по другим методикам.

Для расчета индуктивности рассеяния можно воспользоваться формулой, приведенной в [1]:

где w - число витков обмотки; hн - длина обмотки вдоль направления потока рассеяния;

u - расстояние между обмотками; A - толщина обмотки; lср - средняя длина витка обмотки; kр - опытный коэффициент, зависящий от типа намотки и данных сердечника.

Так же в работе [2] представлена более простая формула для расчета индуктивности рассеяния:

где Sa/3 - площадь витка, находящегося на расстоянии a/3 от внутреннего витка; а - радиальный размер обмотки;

где Ra/3 - средний (по площади) радиус этого витка. При Ra/3 /a = 2 имеем ka = 0,04; при Ra/3 /a = 3 - ka = 0,02; при Ra/3 /a = 4 - ka = 0,01.

Индуктивность рассеяния также можно рассчитать через энергию магнитного поля рассеяния:

Энергию рассеяния Wу можно определить по результатам расчета магнитного поля. Для этого нужно из всей энергии W поля вычесть энергию, запасаемую в сердечнике Wc:

Для сравнения результатов расчета индуктивности рассеяния была проведена серия расчетов как для двухмерных, так и для трехмерных задач. Результаты одной из серий расчета для трехмерной модели трансформатора приведены в табл. 2. Расчеты выполнялись с учетом наличия бака из стали 1010. электромагнитный трансформатор точность автоматизация

Таблица 2. Результаты расчета индуктивности рассеяния обмотки ВН трансформатора ТМГ-1000-10/0,4

Анализ результатов показывает, что полученные из полевой модели значения индуктивности рассеяния существенно отличаются от полученных по аналитическим формулам. При этом формула (7) дает, по-видимому, существенную погрешность. Какой расчет является более точным и правильным, сказать трудно, так как каждая из приведенных моделей опирается на свои специфические ограничений. Например, наличие стального бака можно учесть в модели либо введя в нее дополнительные стальные элементы, соответствующие стенкам бака, либо задав на внутренней поверхности бака граничные условия Неймана. В первом случае учитываются свойства стали, но ввиду малой толщины стенки бака возникают дополнительные погрешности, вызванные наличием в конечно-элементной сетке вытянутых (близких к вырожденным) треугольных элементов. Поэтому, на наш взгляд, большее доверие вызывает расчет с учетом условия Неймана.

Для более точного расчета индуктивности рассеяния по результатам конечно-элементного расчета магнитного поля была исследована модель уединенной обмотки с незамкнутым сердечником (рис. 3). Такая задача может быть решена в осесимметричной постановке. Так как сердечник не замкнут, то все магнитное поле, создаваемое обмоткой, является полем рассеяния, что позволяет избежать влияния на точность расчета основного магнитного потока. Так как поток рассеяния не способен насытить железо, то задача может быть решена в линейной постановке, что существенно сокращает время расчета. Это позволяет использовать такую модель, например, в алгоритмах оптимизации. Для учета насыщения сердечника основным потоком расчет можно проводить при заданном значении магнитной проницаемости стали, соответствующем величине магнитной индукции основного магнитного потока. Значение индукции можно получить либо с использованием приближенных методов расчета магнитной системы, например, изложенных в [3], либо из модели рис. 2.

Рис. 3. Осесимметричная модель обмотки

Результаты расчета индуктивности рассеяния обмотки трансформатора на осесимметричной модели приведены в табл. 3.

Таблица 3. Результаты расчета индуктивности рассеяния на осесимметричной модели

В табл. 3 приведены отклонения ? рассчитанного значения Lу от величины, полученной из расчета трехмерного поля с условием Неймана (см. табл. 2). Наименьшее отклонение дает вариант расчета на линейной модели с = 80 (значение, соответствующее максимальному значению магнитной индукции в стержне трансформатора).

Результаты расчета подтверждают эффективность выбранной модели. Следует отметить, что использование сложных дорогостоящих систем в САПР трансформаторов оказывается невозможным, особенно для малых предприятий. Гораздо дешевле оказывается вариант системы, построенной с использованием динамически подключаемой библиотеки конечно-элементного моделирования магнитного поля. Технология моделирования электротехнических устройств с использованием данной библиотеки уже оправдала себя в ряде конкретных приложений [4, 5, 6].

В настоящее время ведется работа по разработке алгоритмов расчета индуктивности рассеяния с использованием аналитических методов [7]. За основу берутся формулы для расчета магнитного поля кольцевого контура с током. В качестве кольцевых контуров в нашем случае выступают витки обмотки. Нормальная составляющая индукции магнитного поля от витка с током находятся по формулу [8]

где a - радиус рамки с током; r, z - координаты расчетной точки в локальной цилиндрической системе координат с центром, совпадающим с центром витка; k - модуль эллиптического интеграла:

K(k), E(k) - полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра соответственно 1-го и 2-го рода [9]:

где N - количество элементов ряда (которое для достижения точности, достаточной в инженерных задачах, можно принять равным 5).

Магнитный поток, созданный током i-го витка, пронизывающий j-й виток радиуса rj, удаленный от i-го витка по оси на расстояние z, определяется как

Индуктивность рассеяния обмотки без учета влияния стали магнитной системы и бака можно вычислить по формуле

Формула (16) не может быть использована для расчета индуктивности рассеяния обмоток из ленты.

Для учета влияния стали можно использовать метод зеркальных изображений. При этом помимо собственно витков обмотки в модель необходимо ввести дополнительные фиктивные витки, расположенные зеркально по отношению к реальным виткам по другую сторону поверхности раздела воздуха и железа. Несмотря на некоторую архаичность такого метода расчета индуктивности рассеяния обмотки трансформатора, может быть достигнута точность, сопоставимая с точностью полевых расчетов, при более высоком быстродействии модели.

Заключение

В результате проведенного анализа моделей, используемых для электромагнитного расчета силового трансформатора, были выявлены направления, позволяющие оптимизировать структуру САПР путем отказа от трудоемкого моделирования магнитного поля на
3D-моделях. В частности, предложен вариант комбинирования двухмерных полевых моделей: плоскопараллельной - для расчета основного магнитного потока - и осесимметричной - для расчета потока рассеяния. Предложенная комбинация методов позволяет существенно ускорить расчеты без существенной потери точности, по сравнению с трехмерными моделями. Выявленные особенности магнитного поля трансформатора позволяют поставить задачу разработки новой методики расчета, основанной на использовании аналитических методов, что позволит еще значительнее ускорить процесс расчета.