Материал: ChETYREKhPOLYuSNIKI

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

1 Уравнения четырехполюсников

Электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, называется четырехполюсником.

Активные четырехполюсники содержат внутри себя также источники электрической энергии.

Соответственно, пассивные четырехполюсники внутри себя источников энергии не содержат. Примером их могут служить линия передачи, трансформатор, мостовая схема.

Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с двумя парами зажимов.

I

 

 

 

1

U

 

 

1

 

1

1

2

2

I

 

 

2

U

 

 

2

 

Z

2

 

U1 и

I1 – комплексные напряжение и ток на входе

 

 

 

 

 

 

 

четырехполюсника,

U 2

и

I2

–

комплексные

 

 

 

 

 

 

 

напряжение и ток на его выходе, Z2

– комплексное

сопротивление нагрузки.

 

 

 

 

Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи,

удобно заменить приемник

Z2

с напряжением U

2

эквивалентным источником напряжения

 

 

 

 

 

без внутреннего сопротивления с ЭДС равной

U

 

 

2

 

Z

I

 

 

2

2

.

Применим метод наложения.

 

I

 

 

 

 

 

1

1

 

 

U

 

 

 

1

 

 

 

1

2

2

 

I

2

 

U

 

 

2

 

Сначала

учитываем

 

только

источник

U1 .

Замыкая накоротко зажимы источника U2

 

, на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ходим токи

'

и

'

 

 

I 1

I 2 , которые, будут

пропорциональны напряжению U1

:

 

 

 

Y11U1

 

 

 

 

 

 

I '1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I '

 

Y U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

21

1

 

 

 

 

 

Аналогично, при наличии источника U2 и коротком замыкании

I"1 Y12U2 ,

I"

 

Y U

 

 

 

 

 

 

2

22

2

U

 

 

1

 

:

Здесь

Y11 , Y12 , Y21 , Y22

–комплексные

размерность проводимости; Y11 и Y22 проводимостями.

коэффициенты пропорциональности,

имеющие

называются входными, a Y12 и Y21

взаимными

Проводимости Y12 и Y21 определяют токи в короткозамкнутом выходном или входном контуре при заданном напряжении в другом контуре.

При одинаковом напряжении U токи Y12U

и Y21U

по принципу взаимности были бы равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

между собой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, взаимные проводимости:

Y12

Y21 .

 

 

Действительные токи на входе и выходе четырехполюсника

I

 

I '

I" Y U Y U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

11

1

12

2

и I

2

I '2 I"2

Y21U1

Y22U2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совместное решение этих уравнений дает

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

22

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1

Y

 

 

U

2

Y

 

I

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

Y Y

 

Y Y

 

U

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

22

 

 

 

 

12

 

21

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После введения обозначений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

Y22

,

B

1

,

C

Y11Y22 Y12Y21

и

D

Y11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y21

 

Y21

 

Y21

 

 

 

 

 

 

 

Y21

 

 

 

 

 

 

 

 

I 2

.

получаются уравнения четырехполюсника:

U1

AU2

BI2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

I

CU

2

DI

2

1

 

 

где комплексы А, В, С, D называются параметрами четырехполюсника. Между ними существует следующая связь:

AD BC 1.

Следовательно, из четырех параметров независимыми являются три.

В симметричном четырехполюснике, который со стороны выходных зажимов представляет ту же цепь, что и со стороны входных,

A D

и

A2

BC

1

.

С помощью уравнений четырехполюсника можно определить нагрузочный режим,

т. е. найти U1 и

I1

 

 

заданы две другие.

для заданных U 2 и

I2

или две любые величины из указанных, если

2 Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника

При холостом ходе ток на выходе

U

 

AU

 

,

 

1xx

 

2 xx

 

 

 

 

I

2 xx

0

 

 

и уравнения четырехполюсника дают

I

 

CU .

 

 

 

 

1xx

 

2 xx

При коротком замыкании напряжение на выходе четырехполюсника вытекает, что

U1кз B I 2 кз ,

I1кз D I 2 кз .

U

2

кз

0

 

 

и из уравнений

Отсюда видно, что параметр A представляет собой отношение входного и выходного комплексных напряжений при холостом ходе четырехполюсника, a D – отношение входного и выходного комплексных токов при коротком замыкании.

Если при холостом ходе напряжение на выходе будет равно напряжению U 2 при нагрузке, а при коротком замыкании ток на выходе – току I2 при нагрузке, уравнения четырехполюсника получают вид:

 

 

 

U1

AU2

BI2

U1xx U1кз

,

I1

CU2

DI2

I1xx

I1кз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, напряжение U1

и ток

I

1 при любом заданном режиме работы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приемника (U

2

и

I2 ) могут быть определены путем наложения соответствующих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

режимов холостого хода и короткого замыкания.

Чтобы осуществить это наложение, надо знать, как расположить друг относительно друга векторные диаграммы холостого хода и короткого замыкания Для этой цели нужно

измерить сдвиг фаз σ между векторами U 2 и I1xx при опыте холостого хода и сдвиг фаз β между векторами U1кз и I2 при опыте короткого замыкания.

3

После этого построение ведется в следующем

порядке: строится заданная диаграмма

U 2 и

I2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

затем под углом σ к вектору

U 2 строится вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

, а под углом

 

к нему вектор U

 

 

 

. Далее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1xx

 

1хх

 

 

1xx

 

 

под углом β к вектору I2 строится вектор U1кз ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а под углом

к нему –

вектор I

 

 

. После

 

 

1кз

 

 

1кз

 

 

 

этого строятся векторы напряжения и тока

на

входе (

U

 

 

1

 

и

I1

) как суммы напряжений и токов

при холостом ходе и коротком замыкании.

Так как в симметричном четырехполюснике А = D, то

U1хх

 

AU2

 

 

 

 

 

I1кз

 

D I2

 

т. е. угол сдвига фаз между векторами U

 

 

 

 

1xx

U2

I2

и

Z2 z2 e j 2

I1кз

равен заданному углу φ2 сдвига фаз в

 

 

нагрузке, что сразу определяет взаимное расположение векторных диаграмм холостого хода и короткого замыкания без добавочных измерений.

Указанное применение принципа наложения имеет большое значение при испытании мощных электротехнических устройств, описываемых линейными уравнениями, так как позволяет заменить опыт нагрузки, требующий источников большой мощности, опытами холостого хода и короткого замыкания при значительно меньшей мощности.

3 Определение параметров четырехполюсника

Если известны конкретная схема и сопротивления (проводимости) ветвей четырехполюсника, то его параметры могут быть определены расчетным путем по входным и взаимным проводимостям. Можно также исходить непосредственно из зависимостей, устанавливаемых законами Кирхгофа.

В качестве примера рассмотрим простейшие схемы четырехполюсников. Так как из четырех параметров четырехполюсника независимыми являются три, то простейшие схемы должны содержать три ветви, т. е. представлять собой соединение звездой (Т- образная схема) или треугольником (П-образная схема).

1

1

Z1

Z

2

 

Y0

2

2

1

Y1

1

Z0

2 Y2

2

Для Т-образной схемы при режиме холостого хода очевидны следующие соотношения:

U1xx

U

2 xx Z1Y0U

2 xx

AU

2 xx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

Y U

 

CU

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1xx

0

 

2 xx

 

2 xx

 

 

 

при коротком замыкании:

U1кз Z2 I2 кз Z1 (I2 кз Y0 Z2 I2 кз ) BI2 кз ,

I

 

I

 

Y Z

 

I

 

DI

 

 

 

 

 

 

 

 

1кз

 

2 кз

0

2

 

2 кз

 

2 кз

Отсюда параметры этого четырехполюсника:

A 1 Z1Y0 ,

BZ1 Z2 Z1Z2Y0 ,

CY0 ,

4

D 1 Z Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры П-образной схемы могут быть определены аналогично:

 

при холостом ходе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1xx

U2 xx

Z0Y2U

2 xx

AU

2 xx ,

I1xx

Y2U

2 xx

Y1Y2U

2 xx (Z0

1

) CU

2 xx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y2

 

 

при коротком замыкании

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1кз

Z0 I2

кз BI2 кз ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

I

 

Y Z

 

I

 

 

DI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1кз

 

2 кз

1

0

 

2 кз

 

 

2 кз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда параметры П-схемы

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1 Z0Y2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

Z

0

 

,

C Y1 Y2 Y1Y2Z0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 1 Z Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Любой сложный четырехполюсник можно заменить простейшим эквивалентным

ему, т. е. Т- или П-схемой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры этих эквивалентных схем выражаются через параметры

четырехполюсника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для Т-схемы:

Y0

C ,

Z1

 

A 1

,

Z2

 

D 1

;

C

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для П-схемы:

Z0

B ,

Y1

 

D 1

,

Y2

 

A 1

.

 

B

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Видно, что схемы, эквивалентные симметричным четырехполюсникам, сами тоже симметричны, так как, если A D , то Z1 Z2 и Y1 Y2 .

Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его параметры могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода.

Эти измерения позволяют определить комплексы сопротивлений короткого

замыкания

Z

1кз

 

и холостого хода

Z

1хх

 

при питании схемы со стороны входных зажимов 1'-

1″ и

Z

2 кз

 

и

Z

2 хх

 

при питании схемы со стороны выходных зажимов 2' -2":

 

U

 

 

 

A

 

 

U

 

 

B

 

Z1хх

 

1хх

 

 

 

Z1кз

 

1кз

 

 

 

 

 

;

 

 

 

;

 

 

C

 

 

D

 

I

1

хх

 

 

 

I

1кз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

D

Z

 

 

 

2

хх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 хх

 

 

 

 

C

 

 

 

I

2 хх

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

U

 

 

 

Z

 

 

 

2

кз

 

 

 

 

 

 

 

 

2 кз

 

 

 

 

 

 

 

I

2 кз

 

 

 

 

 

 

B A

;

Как видно из этих выражений, полные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой соотношением:

Z1хх Z2 хх ,

Z1кз Z2 кз

поэтому из четырех вышеупомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый может служить для контроля.

Параметры четырехполюсника находят по формулам:

A

 

Z1хх

 

; B AZ2 кз

; C

A

; D

B

.

Z2 хх

Z2 кз

 

Z1хх

Z1кз

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET