Материал: 27_Карныгин_Владимир_02

Лабораторная работа №2.

Задача 1.

Игроки А и В записывают цифры 1 и 2. Игра состоит в том, что, кроме своей цифры каждый игрок записывает еще и ту цифру, которую по его мнению, записал соперник. Если оба игрока угадали или оба ошиблись, то партия заканчивается вничью; если же угадал только один, то он получает столько очков, какова сумма записанных им цифр.

Проверьте, что у Вас платежная матрица игры имеет вид:

С помощью статистического моделирования убедительно(!) подтвердите и проиллюстрируйте графиками, что оптимальные смешанные стратегии игроков описываются следующими законами распределения:

p*=[0 3/5 2/5 0] и q*=[0 3/5 2/5 0] Что можно сказать о цене игры?

Решение:

Сначала просто смоделируем случай игры без стратегии: рассмотрим результаты игры игрока А, состоящей из 1000 партий по 5 раундов

p*=[0 3/5 2/5 0] и q*=[0 3/5 2/5 0]

-оба игрока придерживаются стратегии (1,2) или (2,1), в итоге получили ничью.

Clc, clear all, hold on, grid on;

Res=zeros(1000,1);

for j=1:1000

for i=1:5

Res(j)=Res(j)+Game(ver(rand),ver(rand));

end;

end;

j=[1:1:1000];

plot(j,Res(j),'b');

График- прямая в 0.

.

Выберем случай, когда p*=[3/5 0 2/5 0] и q*=[2/5 0 0 3/5]

Вероятность проигрыша игрока А р=0.69, примерно.. и в общем проигрывает -2303 очков.

Это не удивительно, можно было предугадать результат по платежной матрице.

Задача 2.

Конкурирующие фирмы А и В производят однородный сезонный товар, пользующийся спросом в течение n единиц времени. Доход от продажи товара в единицу времени составляет С ден. ед. Фирма В, будучи более состоятельной, в ходе конкурентной борьбы стремится вытеснить фирму А с рынка сбыта, способствуя своими действиями минимизации ее дохода, не считаясь при этом с временными потерями части своего дохода в надежде наверстать упущенное в будущем. Действующее законодательство не позволяет использовать для этого заведомое занижение цены на товар (прибегать к демпинговым ценам). Единственным допустимым способом достижения своей цели для фирмы В (как и для фирмы А в целях защиты своих интересов на рынке сбыта) остается повышение качества товара и надлежащий выбор момента времени поставки его на рынок сбыта. Уровень спроса на товар зависит от его качества, и в данный момент реализуется тот товар, качество которого выше. Повышение же качества требует дополнительных затрат времени на совершенствование технологии его изготовления и переналадку оборудования. Поэтому будем предполагать, что качество товара тем выше, чем позже он поступает на рынок.

При составлении платежной матрицу игры использовали формулы

Проверьте, что платежная матрица этой игры для n=5 и С=100 имеет вид:

С помощью статистического моделирования убедительно(!) подтвердите и проиллюстрируйте графиками, что оптимальные смешанные стратегии игроков описываются следующими законами распределения:

p*=[3/7 0 2/7 2/7 0] и q*=[0 2/7 4/7 1/7 0] Что можно сказать о цене игры?

Решение:

clc, clear all, hold on, grid on;

c=5; ves=100;

for i=1:5

for j=1:5

if i<j

Matr_Otv(i,j)=ves*(j-i);

end;

if i>j

Matr_Otv(i,j)=ves*(c-i+1);

end;

if i==j

Matr_Otv(i,j)=ves*(c-j+1)/2;

end;

end;

end;

K=100;

for i=1:K

Res(i)=Matr_Otv(popastA2(rand),popastB2(rand));

end;

j=[1:1:K]; plot(j,Res(j),'r'); sum(Res)/100

Эмитируем доход фирмы А за 100 сезонов:

Доход составил: 183.5, т.е. меньше среднего дохода, тогда построим график разницы относительно прибыли компании В:

Такая стратегия не подходит, так как средний убыток примерно -127

Задача 3.

Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7.5 ден. ед., в мягкую зиму – 8.5, в обычную – 9.0, а в холодную – 9.5. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно 6 тонн, на обычную требуется 7, а в холодную расходуется 8. Арендатор может запасать топливо с лета и, в случае необходимости, пополнять его зимой. Однако продать неиспользованный уголь возможности не будет.

Проверьте Вашу платежную матрицу этой игры:

Подтвердите статистическим моделированием верное решение арендатора.

Решение:

clc, clear all;

Summer=7.5;

S=[8.5, 9, 9.5];

N=[6,7,8];

for i=1:3

for j=1:3

if i<j

Matr_Res (i,j)=- Summer *N(i)-S(j)*(j-i);

else

Matr_Res (i,j)=- Summer *N(i);

end;

end;

end;

Matr_Res =

-45.0000 -54.0000 -64.0000

-52.5000 -52.5000 -62.0000

-60.0000 -60.0000 -60.0000

Задание 4.

Используя команду linprog решите следующие задачи линейного программирования(найти максимум и минимум целевой функции)

1.

2.

3.

Используя графический метод решения задачи линейного программирования найдите решение и подтвердите ответы.

Усложните условия первых двух задач, преобразовав ограничения в виде ограничений равенств и смешанные (неравенства и равенства). Естественно размерность задачи возрастет.

Проделайте этот пункт с задачами, составленными Вашим соседом по компьютеру.

Решение:

1.

А). Ищем минимум

Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error

has grown 100000 times greater than its minimum value so far:

the dual appears to be infeasible (and the primal unbounded).

(The primal residual < TolFun=1.00e-008.)

X =

1.0e+029 *

-1.0002

-0.0000

FVAL = -3.0007e+029

Ответ: нет решения.

Б). Ищем максимум

Optimization terminated.

X =

3.0000

2.0000

FVAL = -13.0000

Примечание: Xmin(-f)=Xmax(f) при этом Fmax != -13 как нам сказал lingprog, а Fmax=13.

Ответ: Xmin=[3,2]

2.

А). Ищем минимум

Optimization terminated.

X =

-2.7249

2.3624

FVAL = 2.0000

EXITFLAG = 1

OUTPUT =

iterations: 5

algorithm: 'large-scale: interior point'

cgiterations: 0

message: 'Optimization terminated.'

constrviolation: 9.1759e-011

Ответ: удовлетворяет решению отрезок - lingprog предоставил точку из него.

Б). Ищем максимум

Optimization terminated.

X =

1.1881

2.9060

FVAL = -7.0000

EXITFLAG = 1

OUTPUT =

iterations: 6

algorithm: 'large-scale: interior point'

cgiterations: 0

message: 'Optimization terminated.'

constrviolation: 0

Ответ: удовлетворяет решению отрезок - lingprog предоставил точку из него.

Примечание: Xmin(-f)=Xmax(f) при этом Fmax != -7 как нам сказал lingprog, а Fmax=7.

3.

А). Ищем минимум

X = 1.0e+074 *

0.0000

3.2061

FVAL =

-6.4122e+074

EXITFLAG = -3

OUTPUT =

iterations: 13

algorithm: 'large-scale: interior point'

cgiterations: 0

message: [1x217 char]

constrviolation: 0

Ответ: нет решения

Б). Ищем максимум

X = 1.0e+028 *

4.5791

-4.5791

FVAL = -4.5791e+028

EXITFLAG = -3

OUTPUT =

iterations: 11

algorithm: 'large-scale: interior point'

cgiterations: 0

message: [1x266 char]

constrviolation: 8.7961e+012

Ответ: нет решения.