Реферат: Устранение переменных систематических погрешностей

Пример.

Для выявления и учета негоризонтального положения трубы нивелира можно снять отсчеты по двум реперам, отстоящим от нивелира на разные расстояния (рис.3.2).

Репер 1 (отсчет НB1B)

нивелир

Репер 2 (отсчет Н₂)BB

Рис. 3.2. Учет негоризонтального положения трубы нивелира

Пусть j - угол наклона оси трубы нивелира. Имеем отметки:

НB1B=НB1ист+B

jЧLB1;B

Отсюда получаем:

НB2B=НB2истB+jЧLB2B.

j--= (H2 - H1) - (H2ист - H1ист ) .(3.1)

L2 - L1

Метод компенсации погрешности, когда в двух наблюдениях погрешность входит в результат с разными знаками.

Пример.

Погрешность уровня нивелира выявляется его установкой «так и наоборот». Тогда измеряемый наклон определится как среднее по этим двум измерениям:

jB1B=jBизм.B+D,

jB2B=jBизм.-B D,

где--D - угол отклонения оси нивелира от горизонтали. Отсюда

jBизм=Bj1 +--j2 .(3.2)

Метод рандомизации, предусматривающий измерения различными приборами. При этом систематические погрешности в совокупности представляют случайную величину, распределенную по нормальному закону.

Статистические методы выявления систематической погрешности

Выявить отсутствие или наличие систематической (и не только систематической) погрешности на стадии анализа результатов помогают специальные статистические методы. В каждом из этих методов используется определенный критерий (обозначим его в общем случае символом ц). При этом могут возникнуть следующие ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Будем далее рассматривать ошибки первого рода. Вероятность q такой ошибки называется уровнем значимости. Соответственно, вероятность P принятия правильной гипотезы называется доверительной вероятностью, при этом q = 1 - Р.

Признаком правильности принятой гипотезы является попадание критерия ц в интервал значений, определяемый доверительной вероятностью Р. За границами этого интервала находится область значений критерия ц, когда предложенная гипотеза отвергается. Положение границы между этими областями - цBкр B зависит от вида критерия ц, а также доверительной вероятности Р и числа измерений n . Как правило, значения ц_крB для разных методов сведены в таблицы (см. приложение).

Заметим, что если признаком правильности выбранной гипотезы является неравенство ц < цBкрB, то с увеличением доверительной вероятности Р величина цBкрB уменьшается. Если же признаком правильности выбранной гипотезы является неравенство ц > цBкрB,то с увеличением доверительной вероятности Р величина цBкрB также увеличивается. Таким образом, чем больше доверительная вероятность, тем строже должно быть неравенство.

Рассмотрим следующие статистические методы.

а) Способ последовательных разностей (критерий Аббе)

- для обнаружения изменяющейся во времени систематической по- грешности (при числе измерений до 20).

Пусть имеется выборка из n измерений ХB1,B ХB2B, …ХBnB некоторого параметра Х и среднее его значение Х .

Определяют дисперсию выборки по формуле:

s²( X ) =1

(X - X )² .(3.3)

е_i

i =1

Кроме того, вычисляют функцию суммы квадратов разности со- седних по времени измерений по формуле:

Q ²( X ) =1n ( X- X)².(3.4)

2(n - 1) е i +1i

Если со временем происходило смещение центра группирования измерений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, очевидно, величина sP P(Х) дает преувеличенную оценку дисперсии.

Действительно, допустим, что среднее значение Х измеряемой величины Х дрейфует со временем, принимая текущие значения Х (t ) , т.е. присутствует систематическая погрешность.

В этом случае истинный разброс величины Х в каждый момент времени следовало бы оценивать относительно текущего среднего значения Х (t ) . Мы же вычисляем дисперсию sP P(Х) по отношению к общему среднему Х . т.е. разности (Х_iB (B t) - Х ) больше, чем (Х_iB B - Х (t )). В то же время на величину QP P(Х) дрейф средней величины сказывается незначительно, поскольку мы оперируем с соседними по времени измерениями.

Отношение n= QP P(Х)/ sP P(Х) и есть критерий обнаружения систематической, изменяющейся во времени погрешности (так называемый критерий Аббе). Чем меньше n, тем более вероятно наличие систематической погрешности. Попадание значения n в критическую область (n<nBкрB) означает наличие систематической погрешности.

Определены табличные критические значения nBкрB для разных уровней значимости q и числа измерений n. Чем меньше значение q и, соответственно, больше P, т.е. чем выше должна быть наша уверенность, что переменная систематическая погрешность присутствует, а также чем меньше выполнено измерений, тем ниже должна опускаться планка критического значения nBкрB.

Примеры:

1. Измерения напряжений Х в балке мостового пролетного строения от одной и той же нагрузки, проводимые с помощью деформометра в течение некоторого времени, дали следующие результаты (МПа):

30 31 29 32 31 33 (всего 6 измерений).

Требуется определить, имела ли место в этом случае систематическая погрешность.

Среднее арифметическое - X =31.

Дисперсия - sP P (Х)=2,0.

Величина QP P(Х)=1,9.

Q ²( X )n--=--= 0,95

s²( X )

Для всех табличных уровней значимости n-->--nBкр., что означает отсутствие систематической погрешности.

2. Имеется ряд результатов измерения параметра Х: 303031323435

Требуется выяснить наличие систематической погрешности. Статистическая обработка данных дает следующие результаты:

22

X = 32; sP P (Х) = 4,4; QP P (Х) = 1,5.

Q ²( X )

n--=

s²( X )

= 0,34 .

Зададимся двумя значениями уровня значимости и найдем по таблице соответствующие критерии:

q = 0.05; nBкр=B

0.445.

q = 0.01; nBкрB= 0.281.

Это означает, что при уровне значимости q=0,05 (nBкрB=0,445), т.е. с вероятностью 0,95 можно утверждать, что присутствует систематическая погрешность, но с вероятностью 0,99 (nBкрB=0,281) этого утверждать нельзя.

б) Способ дисперсионного анализа (критерий Фишера)

В практике измерений часто бывает необходимо проверить наличие систематической погрешности вследствие влияния какого- либо фактора.

Например, при проведении испытаний мостов в процессе работы погодные условия могут меняться, и это отражается на результатах измерений.

Для выявления систематической погрешности весь массив измерений разбивают на группы по принципу различного влияния исследуемого фактора. Например, при проведении измерений некоторого параметра для выяснения, влияет ли на них температура воздуха, можно выделить в отдельные группы утренние, дневные, ночные измерения.

Пусть мы имеем всего n измерений, разбитых на s групп, и nBi измерений в i-ой группе.

В каждой группе должно иметь место нормальное распределение результатов измерений. Это означает, что разброс результатов в каждой группе обусловлен лишь случайными погрешностями. Определим для каждой группы среднее арифметическое и дисперсию.

Совокупная характеристика случайных погрешностей в группах может быть выражена средним арифметическим значением дисперсий Di, определенных для каждой группы. Эта величина называется внутригрупповой дисперсией DВГ. Если число измерений в каждой группе одинаково, т.е. ni = n /s, можно записать:

1s n j 2

DВГ=n - s

е--е ( X_{i, j}

i =1j =1- Xi ),(3.5)

где Х BiB - средний результат измерений i -ой группы,

ХBiB,_jB B - результат j-го измерения в i-ой группе.

Поскольку группы подобраны таким образом, что в каждой из них дисперсия результатов определяется только случайными причинами, то и величина DBВГB , очевидно, отражает только эти случайные причины (случайные погрешности).

Рассеивание средних Х BiB по различным группам результатов обусловлено не только случайными погрешностями, но и систематическим воздействием фактора, по различным проявлениям которого сформированы группы. Поэтому, если мы вычислим дисперсию массива средних значений ( Х Bi)B , то она будет отражать различие между группами, обусловленное систематическими причинами. Такую дисперсию называют межгрупповой, где Х - общее среднее значение по всем n результатам.

Графическое представление разбиения массива на группы и определения межгрупповой и внутригрупповой дисперсий приводит- ся ниже на примере (рис.3.3).

Отношение F=DBМГB/DBВГB выражает соотношение влияния на разброс систематической и случайной погрешности. Величину F называют дисперсионным критерием Фишера.

По аналогии с критерием Аббе определены границы критических областей для критерия Фишера (FBкр)B при различных значениях Р доверительной вероятности, массива результатов n, числа групп s.

Если вычисленное для данного массива измерений значение F при заданных n, q = 1 - Р, s больше соответствующего табличного значения FBкрB, то гипотеза о систематической погрешности принимается.

Рис 3.3. Разбиение массива на однородные группы для определения критерия Фишера

Пример

В течение суток в разное время проведено 30 измерений провиса металлического пролетного строения, в том числе по 10 измерений - в 5 часов, 12 часов и 19 часов.

Внутригрупповая дисперсия составила 0,05 смP P;

Межгрупповая дисперсия - 0,2 смP P.

Выявить, была ли систематическая погрешность, вызванная разным нагревом конструкции на протяжении суток.

Расчетное значение критерия Фишера F=0,2/0,05=4.

KB1B=s-1=2; KB2=B n-s=28;

Табличное значение критерия Фишера:

для уровня значимости q=0,05FBqB=3,37;

дляq=0,01FBqB=5,53.

Таким образом, в первом случае, т.е. с вероятностью 0,95, можно говорить о систематической погрешности, а во втором, т.е. с вероятностью 0,99, этого сказать нельзя.

Исправление выявленных систематических погрешностей при обработке результатов может быть выполнено путем введения поправок, нейтрализующих влияние факторов, вызывающих погрешность.

Таблица 1 Значения функции

f ( x ) =e2

Значения функции Лапласа

F ( x ) =1т e0z 22

Таблица 2