Материал: ОиММПР. Лекция 10

«Оптимизация и математические методы принятия решений»

ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович

Лекция 10

Методы векторной динамической оптимизации

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение Учебные вопросы:

1.Проблемы векторной оптимизации принятия решений, редукция системы

критериев оптимальности, нормирование составляющих векторного критерия, скаляризация (свертка) векторного критерия оптимальности.

2.Отыскание парето-оптимальных решений.

3.Принцип разделения в стохастической задаче принятия решений (оптимального управления). Принцип оптимальности Беллмана.

Функциональное уравнение Беллмана. Заключение

1 из 20

Литература:

1.Щекотихин В.М., Терентьев В.М. Прикладная математика.- Орел: Академия ФАПСИ, 2002.

2.Терентьев В.М. Методика обоснования требований к показателям качества АСМКРС. -Л.: ВАС, 1991.

3.Терентьев В.М., Паращук И.Б. Теоретические основы управления сетями многоканальной радиосвязи. - С-Петербург: ВАС, 1995.

4.Терентьев В.М., Санин Ю.В. Анализ эффективности функционирования автоматизированных сетей многоканальной радиосвязи. - С-Петербург: ВАС, 1992.

5.Терентьев В. М., Илюхин А. А., Куцакин А. И., Осипов А. Н. Основы построения сетей спутниковой связи с подвижными объектами: Учебное пособие. – Орел: Академия Спецсвязи России, 2004.

2 из 20

Введение

Рассматривая особенности теории принятия решений с точки зрения стохастического оптимального управления можно сказать, что к ним относятся:

•использование для описания объектов методов теории переменных состояния;

•использование среднеквадратичных целевых функций, записанных в рекуррентной форме;

•фундаментальная роль принципа разделения;

•построение алгоритмов стохастического оценивания состояния объекта на основе фильтров Калмана;

•использование известных детерминированных методов при принятии управленческих решений (отыскании управляющих воздействий).

Проблемы векторной оптимизации процесса принятия решений.

Формализованная цель задачи - критерий оптимальности In= min L(Y,Yтр) - формулируется на основе целевой функции L(Y,Yтр), включающей в себя систему показателей и требования к их значениям, а также указания по поиску их экстремумов (min, max, minmax, maxmin и др.).

3 из 20

В практических задачах, как нами рассматривалось ранее, используются следующие основные виды целевых функций:

-простая L=(Y −Y тр) ;

-модульная L=|Y −Y тр| ; -квадратичная L=[Y −Y тр]2 .

Наличие множества различных и зачастую противоречивых критериев оптимальности порождает проблему многокритериальной (векторной) оптимизации процесса выбора решения. Основными операциями на пути ее решения являются необходимость сокращения размерности векторного критерия оптимальности (ВКО), нормализация и последующая скаляризация (свертка) его составляющих.

Редукция системы критериев оптимальности.

Уменьшение размерности системы показателей (критериев оптимальности) значительно упрощает решение задачи ВКО. Одним из наиболее распространенных методов редукции является метод, основанный на оценке степени линейной независимости отдельных составляющих векторного критерия.

Вычисление матрицы коэффициентов корреляции ВКО проводится на основе следующего выражения [1,3]:

M ρ {ρn n' } ;

4 из 20

где K (In , In')=M матричная взаимная корреляционная функция n-го и n - го критериев диагональные члены которой являются дисперсиями n-х критериев, а остальные члены характеризуют степень линейной независимости любой пары критериев;

n,n' - номера критериев оптимальности;

l=1, ... ,M - номера дискретных значений критериев;

∞

¯I n=∑ In Pnl− среднее значение критерия;

l=1

Pnl , Pn' l'− вероятности принятия n ( n' )-м критерием значения l ;

совместная вероятность принятия n-м критерием l -го значения и n'− м критерием l'− го значения.

Редукция системы критериев осуществляется путем удаления из исходной задачи тех критериев In' , которым в матрице коэффициентов корреляции { ρn n' } соответствуют такие недиагональные элементы, которые превышают величину 0,9 и выше. Следует отметить, что критерии оптимальности в исходной задаче должны быть предварительно ранжированы по степени их важности для принятия решения. Для случая непрерывных критериев вероятности в выражении (1) должны быть заменены на плотности распределения, а суммы на интегралы.

5 из 20