Обобщение одной классической пары полиномов
Е.В. Бурлаченко
Рассмотрим последовательность преобразований, связывающую корни полиномов деления круга с корнями полиномов
, .
Обозначим:
,
, .
Тогда
.
Заменим на :
,
.
Переставим коэффициенты в обратном порядке:
,
,
где
, .
Заменим на :
.
Следовательно,
.
Аналогично
.
Отметим аналогию с полиномами Чебышева первого и второго рода
,
.
Обозначим
, ,
, , .
Так как
,
,
то
,
.
Обозначим
.
Так как
,
то
,
.
Раскладывая в бином Ньютона и группируя члены, можно представить его в виде
,
где
- полином степени , четные члены которого равны нулю, если нечетно, нечетные члены равны нулю, если четно,
- полином степени , четные члены которого равны нулю, если четно, нечетные члены равны нулю, если нечетно. Например:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Докажем, что
,
,
,
,
классическая пара полином
где условие означает, что степень равна , условие означает, что степень равна .
Убедимся, что
при ,
при , .
Если , - формальные степенные ряды, раскладывается в ряд Лагранжа по правилу [1, с.147]:
,
где выражение означает -й коэффициент ряда . Обозначим . Пусть , . Тогда
,
откуда, пользуясь уравнением , находим
.
Так как [2, с.172]
,
где
, ,
то
,
где
,
.
-й коэффициент ряда равен -му коэффициенту полинома , обозначенному нами . Следовательно, .
Пусть в формуле , . Тогда
,
.
Так как
,
где
, ,
то
,
где
.
-й коэффициент ряда
равен -му коэффициенту полинома , обозначенному нами .Следовательно, .
Подставляя в формулы , , , получаем равенства
, ,
где - целая часть от .
Отметим также равенство
,
вытекающее из уравнения .
Рассмотрим аналогичный случай.
Обозначим
.
Так как
,
то
,
.
Раскладывая в бином Ньютона и группируя члены, можно представить его в виде
,
Где
- полином степени,
- полином степени . Например
, ,
, ,
, .
Докажем, что
,
,
,
,
где условие означает, что степень равна , условие означает, что степень равна .
Убедимся, что
при ,
при , .
Пусть в формуле ,
. Тогда
,
откуда, пользуясь уравнением , находим
.
Так как
,
то , , равен -му коэффициенту полинома .
Пусть в формуле
,
. Тогда
,
.
Так как
,
то равен -му коэффициенту полинома .
Отметим также равенство
,
вытекающее из уравнения .
Литература
1. Риордан Д. Комбинаторные тождества. - М.: Наука, 1982.
2. Справочная математическая библиотека. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. - М.: Физматгиз, 1963.