Контрольная работа: Математическое моделирование чрезвычайных ситуаций

Содержание

1. Перечислить и объяснить основные параметры, характеризующие землетрясения

2. Перечислить и объяснить основные этапы построения математической модели опасного явления

3. Практическое задание

Список литературы

1. Перечислить и объяснить основные параметры, характеризующие землетрясения

Землетрясения - это подземные толчки и колебания земной поверхности, возникающие в результате внезапных смещений и разрывов в земной коре.

Основной причиной наиболее разрушительных землетрясений является столкновение или иное взаимодействие тектонических плит.

Земля имеет слоистое строение: внешний твердый слой - земная кора имеет толщину от 6 км (под дном океанов) до 70 км (в горных районах континентов). Ниже коры до глубины приблизительно 2900 км простирается мантия. Центральную часть Земли от глубины приблизительно 2900 км до центра занимает ядро. Твердая оболочка земли (литосфера), включающая в себя кору и верхний слой мантии, состоит из семи-восьми гигантских плит, на которых находятся континенты и несколько десятков более мелких плит, которые перемещаются по слою сильно разогретых пластичных пород.

Толщина тектонических плит меняется от 10-80 км под океанами и 200-300 км на континентах. Скорость смещения плит - несколько сантиметров в год. Причиной этого смещения или драгера плит является вращение Земли и другие геофизические и космические факторы. Плиты раздвигаются, сдвигаются, наползают друг на друга и т.д. При взаимодействии плит возникают их упругие деформации, которые при достижении предела прочности горных пород приводят к их разрывам и разрушениям, что и проявляется в виде землетрясений.

Около 90 % землетрясений приходится на Тихоокеанский пояс, окружающий Тихий океан; 5-6 % приходится на Альпийский пояс, который тянется от Средиземного моря через Турцию, Иран, Северную Индию в Китай. Третья зона землетрясений - срединно-океанические хребты Атлантического и Индийского океанов. В России в сейсмоопасные зоны попадают около 20 % всей территории.

Источник сейсмических волн занимает определенный объем и имеет протяженность от 1 до 100 и более км. Но при теоретическом рассмотрении источник землетрясения представляется точкой, которая называется гипоцентром (фокусом).

Проекция гипоцентра на поверхность Земли вверх по вертикали называется эпицентром (рис 1). Местоположение гипо- и эпицентра определяют по времени прихода сейсмических волн.

Рис. 1. Схема землетрясения и вызываемых им волн: 1 - гипоцентр; 2 - эпицентр; 3 - Р-волны; 4 - S-волны; 5 - волны Лява; 6 - волны Релея

Землетрясение можно определить как колебания земной поверхности при прохождении волн от подземного источника энергии.

Различают несколько видов сейсмических волн. В толще горной породы от источника землетрясения распространяются первичные продольные волны (волны давления или Р-волны) и поперечные волны (волны смещения или S-волны).

Скорости распространения этих волн зависят от механических свойств горных пород и грунтов, через которые они проходят (табл. 1). При этом скорость продольных волн в среднем в 1,7 раза выше скорости поперечных волн. Объемные продольные и поперечные волны достигнув поверхности Земли вызывают поверхностные волны двух видов: волны Лява, в которых грунт смещается из стороны в сторону в горизонтальной плоскости перпендикулярно к направлению распространения и волны Релея, в которых частицы грунта перемещаются по замкнутым траекториям вверх и назад по отношению к направлению движения волны. Поверхностные волны распространяются примерно в два раза медленнее, чем поперечные.

Таблица 1 - Скорость распространения продольных сейсмических волн

Воздействиям продольных, поперечных и поверхностных волн соответствуют три фазы землетрясения: Р-, S- и L-фазы. Действие продольных волн (Р-фаза) похоже на удар воздушной волны. Самой разрушительной является вторая S-фаза, связанная с приходом поперечных волн, которые смещают грунт из стороны в сторону как по вертикали, так и по горизонтали.

Амплитуда колебаний земной поверхности А, мкм на расстоянии R км от эпицентра определяется следующей приближенной формулой:

Z = 10М-1,32?lgR

где М - магнитуда землетрясения, которая является условной единицей его полной энергии.

Автор понятия магнитуда Ч. Рихтер (1935) определял её как число пропорциональное десятичному логарифму амплитуды наиболее сильной волны, выпаженной в мкм, на расстоянии 100 км от эпицентра землетрясения.

Энергия, выделяющаяся при землетрясении, определяется формулой:

Е = 104,8+1,5М, Дж

Магнитуда землетрясений по шкале Рихтера может изменяться от 1 до 9. Самое сильное Ассамское землетрясение (северо-восточная Индия, 1952) имело магнитуду 8,7. Выделенная в нем громадная энергия Е ~ 1018 Дж эквивалентна энергии, выделенной при взрыве 2,2 млрд т тротила.

В среднем в мире ежегодно происходит одно землетрясение с магнитудой 8 и выше.

Интенсивность землетрясения - это мера величины сотрясения грунта, которая определяется степенью разрушения зданий и конструкций, а также характером изменения земной поверхности.

Интенсивность землетрясения в зависимости от расстояния различна, а его магнитуда всегда одна.

В РФ, как и в ряде европейских стран, используется 12-бальная международная шкала интенсивности землетрясения МSК-64. Условно землетрясения подразделяются на слабые (1-3 балла), умеренные (4 балла), сильные (5-7 баллов), разрушительные - 8 баллов, опустошительные - 9 баллов, уничтожительные - 10 баллов; катастрофические - 11 баллов; 12 - баллов сильная катастрофа.

Интенсивность землетрясения J определяется по формуле:

где расстояние от эпицентра R и глубина h измеряются в км.

Из формулы следует выражение для максимальной интенсивности землетрясения, которая достигается в эпицентре (R = 0):

J0=3+1,5V-3,51gh

Если данные о глубине гипоцентра отсутствует, то интенсивность землетрясения можно оценить по формуле:

J0 ? 1,5 (M ? 1).

Расстояние, на котором возможно возникновение колебаний заданной интенсивности, определяется соотношением

Реальная интенсивность землетрясения, учитывающая влияние грунта под застройкой и в окружающей местности, определяется соотношением:

где ?Jз, ?Jм - изменение балльности землетрясения, учитывающие типы грунта под зданиями и в окружающей местности (по сравнению с гранитом).

2. Перечислить и объяснить основные этапы построения математической модели опасного явления

Характерные особенности чрезвычайных ситуаций (ЧС), такие как внезапность возникновения, быстрота развития, неполнота и неопределенность исходной информации, разнообразие и цепной характер последствий затрудняют использование для их изучения традиционных эмпирических методов.

В связи с этим для анализа и прогнозирования чрезвычайных ситуаций все шире применяется математическое моделирование, которое является во многих случаях единственно допустимым, как например, при экспертизе особо опасных природных и техногенных явлений.

Математической моделью ЧС называется система соотношений, уравнений, неравенств, геометрических понятий и т.д., которые в математической форме отображают, воспроизводят или имитируют наиболее важные особенности и свойства реальных опасных явлений с целью анализа и прогнозирования их возникновения, развития и последствий.

Особенности математической модели во многом определяются типом моделируемой ЧС. Все ЧС можно разделить на природные, техногенные и социально-политические.

К природным ЧС относятся такие стихийные бедствия, как землетрясения, извержения вулканов, цунами, наводнения, ураганы, лавины, оползни, засухи, лесные пожары и др.

Техногенные (технологические) ЧС связаны с авариями на энергетических и промышленных объектах, а также транспортные катастрофы, которые сопровождаются взрывами, пожарами, химическим и радиоактивным заражением территорий.

К социально-политическим ЧС относятся войны, пограничные конфликты, терроризм, диверсии, саботаж.

К комбинированным природно-техногенным и природно- социальным ЧС относятся просадки грунтов, эпидемии, эпизоотии (инфекционные заболевания животных), эпифитотии (инфекционные болезни сельскохозяйственных культур) и др.

Все перечисленные выше ЧС могут быть исследованы методами математического моделирования. Замена реальной ЧС ее воображаемым виртуальным образом - математической моделью дает возможность безболезненно, сравнительно быстро и с минимальными затратами исследовать все мыслимые сценарии возникновения и развития ЧС, а также прогнозировать ее последствия.

Создание математической модели ЧС включает в себя несколько этапов. Начальным этапом является содержательное описание ЧС, которое составляется на основе всех имеющихся о ней знаний, результатов натурных обследований сходных ситуаций, консультаций с экспертами, изучения справочной и специальной литературы.

На втором этапе выполняется формализация содержательного описания модели, математическая постановка задачи с указанием всех необходимых исходных данных и искомых величин.

На третьем этапе формализованная схема ЧС должна быть преобразована в ее математическую модель. Для этого всю имеющуюся информацию необходимо выразить с помощью соотношений, неравенств, уравнений, алгоритмов. Уравнения, входящие в модель, дополняются начальными и граничными условиями, а также неравенствами, определяющими область допустимых значений вычисляемых величин.

На четвертом этапе, исследуется сама модель. Путем проведения многовариантных расчетов изучаются свойства модели и ее поведение при различных условиях.

На следующем этапе модель применяется к описанию реальных ЧС.

Путем сопоставления результатов вычислительных экспериментов с имеющимися опытными данными выполняется идентификация или уточнение параметров модели, ее тестирование, отлаадка и проверка адекватности.

После того, как адекватность модели, т.е. ее достаточное соответствие реальности, установлена, начинается использование модели для анализа и прогнозирования ЧС, происходящих в реальных условиях.

Схема построения математической модели приведена на рис. 2.

Необходимым условием получения достаточно точной и надежной математической модели ЧС является проверка ее адекватности.

Предположим, что математическая модель поражающего воздействия у некоторого фактора ЧС имеет вид:

где х - интенсивность этого фактора, и1, и2, …, ир - р параметров модели, которые предварительно задаются или определятся по опытным данным методом наименьших квадратов.

Рис. 2. Схема построения математической модели

Проверка адекватности математической модели осуществляется путем сравнения модельных (расчетных) значений yxi с эмпирическими значениями yi, найденными на m различных уровнях независимой переменной xi, где i = 1, 2, …, m. землетрясение математический модель

Простейшей предварительной мерой соответствия математической модели реальной ситуации является относительное среднее квадратическое отклонение расчетных данных от опытных:

где

-

среднее значение опытных данных,

р - число параметров модели.

Удовлетворительным можно считать значение ?~ ? 0,1? 0,2 .

Более полную оценку адекватности математической модели можно получить с помощью критерия Вилкоксона-Манна-Уитни. Для проверки гипотезы о статистической однородности выборок модельных yxi и эмпирических значений исследуемой характеристики ЧС из этих выборок составляется общий вариационный ряд и подсчитывается величина

где Ri - ранги, т.е. порядковые номера экспериментальных значений yi в общем вариационном ряде.

При объемах выборок m > 8 распределение случайной величины S близко к нормальному распределению с параметрами:

При уровне значимости б = 0,05 критическая область для гипотезы об однородности теоретической и экспериментальных выборок определяется неравенствами:

Если значение S не попадает в критическую область, то обе выборки однородны, т.е. принадлежат одной и той же генеральной совокупности и поэтому математическую модель следует признать адекватной.