Доказательство
Векторы LM?>?LM> и LN?>?LN> не коллинеарны. Следовательно, LL, LM?>?LM>, LN?>?LN> -- декартова система координат. Пусть c1,c2c1,c2 -- координаты L?L?, а a1,a2a1,a2 и b1,b2b1,b2 -- компоненты векторов L?M??>???L?M?> и L?N??>??L?N?> в этой системе координат.
Формулы
x?=a1x+b1y+c1,
y?=a2x+b2y+c2x?=a1x+b1y+c1,
y?=a2x+b2y+c2
определяют линейное преобразование ff, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты в формулах однозначно определены.
Условие (4)(4), равносильное аффинности преобразования, необходимо и достаточно для того, чтобы векторы L?M??>L?M?> и L?N??>L?N?> были не коллинеарны, то есть L?L?, M?M? и N?N? не лежали на одной прямой. Предложение доказано.
Заметим, что в том случае, когда преобразование ff аффинное, точка f(O)f(O) и векторы f(e1)f(e1) и f(e2)f(e2) могут быть использованы как система координат. Для этой системы координат имеет место ещё одно утверждение.
Утверждение 9.
При аффинном преобразовании ff образ M?M? точки MM в системе координат f(O)f(O), f(e1)f(e1), f(e2)f(e2) имеет те же координаты, что и точка MM в системе координат O,e1,e2O,e1,e2.
Доказательство
Равенство OM?>?=xe1+ye2OM>=xe1+ye2 означает, что xx, yy -- координаты MM в системе координат O,e1,e2O,e1,e2. Подействовав преобразованием ff на обе части этого равенства, мы получаем f(O)f(M)?>=xf(e1)+yf(e2)f(O)f(M)>=xf(e1)+yf(e2), которое означает, что xx и yy -- координаты M?M? в системе координат f(O)f(O), f(e1)f(e1), f(e2)f(e2).
1.6 Основные свойства линейных преобразований
Отметим основные свойства линейных преобразований. Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости z; предположим, что определитель отличен от нуля; тогда обратное к (4) преобразования также однозначно определено во всей плоскости. Таким образом, при не только каждому z соответствует одно значение, но и каждому - одно значение z, т. е. преобразование (4) осуществляет взаимно-однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость.
Рассмотрим пучок параллельных прямых с угловым коэффициентом т. е. прямых. Заменяя здесь х и у по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых = с угловым коэффициентом
Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты на плоскости z в параллелограммы на плоскости.
Пусть и - пара точек, соответствующих друг другу при отображении. Тогда это отображение можно представить в виде
Поставим вопрос: каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило окружности снова в окружности? Из (9) следует, что для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений.
Следовательно, при условиях (14) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от к, т. е. симметрия относительно действительной оси.
Из геометрического смысла преобразований (12) и (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между двумя прямыми, преобразуют квадраты на плоскости z в квадраты на плоскости и т. п. Линейные преобразования, обладающие этим свойством, называются ортогональными. Таким образом, условия (10) есть условия ортогональности преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (короче, сохраняет ориентацию), а (15) - меняет их на противоположные (меняет ориентацию). Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, а условия (14) - ортогональные преобразования, меняющие ее.
И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так - у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии.
Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов. линейный преобразование вектор геометрический
Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования.
В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.
В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.
Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.
Определение. Векторы из пространства R называются относительно линейно независимыми над подпространством R 1, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит R 1.
Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из R относительно линейно зависимы над любым пространством.
Определение. Базисом пространства R относительно подпространства R 1 называется такая система е1, …, е k линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R 1 образует базис во всем пространстве.
Такой базис легко построить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из R1. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.
Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.
Итак, пусть преобразование А в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно, предположить, что оно равно нулю.
Заключение
«Человек утверждается на земле, постигая тайны явлений природы или делая определенные умозаключения».
Абай, слова назидания, Слово 7.Перевод С. Санбаева.
Мною была выбрана тема для курсовой работы «Канонический вид произвольных линейных преобразований», так как курс линейной алгебры читается на механико-математическом факультете университетов, что непосредственно связано не только с моей специальностью магистранта, но также и с моей работой преподавателем математики в педагогическом институте. И поэтому для меня эта тема является очень важной и актуальной.
Обычно мы изучаем различные классы линейных преобразований n - мерного пространства, имеющих n линейно независимых собственных векторов. Матрица базиса, состоящего из собственных векторов линейного преобразования, имеет особенно простой вид (диагональную форму).
Но число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. А такое преобразование не может быть приведено к диагональной форме. Моя же работа дает ответ на возникший вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? Курсовая работа подробно описывает линейные преобразования, а именно:
8. Линейные преобразования
9. Матрица линейного преобразования
10. Определитель матрицы линейного преобразования
11. Произведение линейных преобразований
12. Образ вектора при линейном преобразовании
13. Группа линейных преобразований и ее подгруппы
14. Основные свойства линейных преобразований
1. Бочаров, М. И., Симонова И. В. Методика обучения информационной безопасности старшеклассников / Пространство и Время. 2013. - 244 с.
2. Гейн, А. Г. Информатика и ИКТ. 11 класс: Учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / А. Г. Гейн, А. И. Сенокосов. М.: Просвещение, 2012.-23 с.
3. Гейн, А. Г. Информатика и информационные технологии. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Гейн, А. И. Сенокосов. М.: Просвещение, 2010.- 75 с.
4. Ермоленко, В. А. Дидактические основы безопасности жизнедеятельности. М.: ИТИП РАО, 2010.-89 с.
5. Информатика и ИКТ. 11 класс. Базовый уровень / Под ред. проф. Н.В. Макаровой. СПб.: Питер, 2009.- 224 с.
6. Семакин, И. Г. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Учебник для 10-11 классов / И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер. 4-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.- 63 с.
7. Семакин. И. Г. Информатика и ИКТ: Учебник для 9 класса / И. Г. Семакин, Л. А. Залогова, С. В. Русаков, Л. В. Шестакова. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. -341 с.
8. Соловьева, Л. Ф. Информатика и ИКТ. Учебник для 8 класса. СПб.: БХВ-Петербург, 2011.-288 с.
9. Угринович. Н. Д. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Учебник для 10 класса. 4-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.-212 с.
10. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Учебник для 11 класса. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-187 с.
11. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: Учебник для 10 класса. 3-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. -387 с.
12. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: Учебник для 10 класса. 3-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.- 387 с.
13. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 7 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-173 с.
14. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 8 класса. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-178 с.
15. Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ: Учебник для 9 класса. 2-е изд., испр. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.-295 с.
16. Фиошин, М. Е. Информатика и ИКТ. 10-11 кл. Профильный уровень. В 2 ч. Ч. 1: 10 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / М. Е. Фиошин, А. А. Рессин, С. М. Юнусов. 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009.-255 с.
17. Фиошин, М. Е. Информатика и ИКТ. 10-11 кл. Профильный уровень. В 2 ч. Ч. 2: 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / М. Е. Фиошин, А. А. Рессин, С. М. Юнусов. 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009.-271 с.