Документ: Лекция 2. Функциональные ряды, страницы 6-10

f

x

f x0

f

' x0

x x

0

f '' x0

x x0

2 ...

0!

1!

2!

f n x0

n

f i x0

i

x

x0

...

x x0 .

n!

i!

i 1

f i

x

0

i

Определение: Степенной ряд

x x0

называется рядом Тейлора функции f x .

i!

i 0

При

x0 0

этот

ряд

называют

также

рядом

Маклорена.

Функцию

n

f i x0

i

n

rn x f x

x x0 o x

x0

называют остатком ряда Тейлора.

i!

i 1

Пример 1: Найдем ряды Маклорена

функций

y ex ,

y

2

sin x,

y

3

cosx ,

y

4

ln 1 x ,

1 x .

1

y5

... y n ... ex , y 0 y' 0 y'' 0 ... y n 0 ... e0 1.

Решение: 1)

y ex : y'

y''

1

x

n

ex

x

x2 ...

0!

1!

2!

n 0

n!

Впредыдущей лекции было показано, что интервал сходимости степенного ряда xn равен

i 0 n!

; .

2) y sin x:

y' cosx, y'' sin x, y''' cosx, y 4 sin x и т. д.

y 0 0, y' 0 1, y'' 0 0, y''' 0 1, y 4 0 0 т.е. последовательность значений

производных в точке 0 выглядит так: 0,1,0,-1,0,10,-1,0,1,0,-1 и т.д.

		1		1			1	n 1	x	2n 1
sin x 0			x 0		x3	...
							2n 1!
	1!			3!		n 0

Можно показать, что промежутком сходимости этого ряда также будет вся числовая прямая

;

3) y cosx: y' sin x, y'' cosx, y''' sin x, y 4 cosx и т.д.

y 0 1, y' 0 0, y'' 0 1, y''' 0 0, y 4 0 1 т.е. последовательность значений производных

в точке 0 выглядит так: 1,0,-1,0,10,-1,0,1,0,-1,0 и т.д.

1

n

x

2n

cosx 1 0

x2

0

x4

...

2!

4!

2n !

n 0

И здесь можно показать, что промежутком сходимости этого ряда также будет вся числовая прямая ; .

4)

y ln 1 x :

y' 1 x 1 ,

y'' 1 x 2 ,

y''' 21 x 3 ,

y 4 2 31 x 4 ,

y 5 2 3 41 x 5 .

Очевидно, что

y n 1 n 1

n 1! 1 x n и

y n 0 1 n 1 n 1!.

n 1

n 1!

1

n 1

x

n

Значит, ln 1 x 0

1

xn

.

n 1

n!

n 1

n

В предыдущей лекции было показано, что интервалом сходимости этого ряда является 1;1 .

5) y 1 x : y' 1 x 1 , y'' 1 1 x 2		, y''' 1 2 1 x 3 и т.д.
y 0 1, y' 0 , y'' 0 1, y''' 0 1 2 и т.д.
1 x 1 x 1 x2	1 2 x3	...
2!	3!

В частности, 1 1x 1 x x2 x3 ...,

Можно показать, что промежутком сходимости этого ряда является 1;1 .

Замечание: можно заметить, что в ряде Маклорена нечетной функции y sin x суммируются тольконечетныестепенипеременной,аврядеТейлорачетнойфункции y cosx суммируются

четные степени переменной. Это не случайно: можно доказать что у любой четной функции коэффициенты при нечетных степенях переменной в ряде Маклорена будут равны 0, а у нечетной функции будут равны 0 коэффициенты при четных степенях

Пример 2: составить ряды Маклорена функций y e x2 , y cosx .

Решение: 1)

y e x2

: обозначим t x2 , тогда

y et

1 t t2

t3

... 1 x2

x4

x6

...

2!

3!

2!

3!

2) y cos

: обозначим t

x

x , тогда

cost 1

1

t2

1

t4

... 1

x

x2

...

2!

4!

Замечание: этот метод, называемый метод подстановки не всегда приводит к нужному результату. Например, при нахождении ряда Маклорена функции y sin x этот метод в ответе не дал бы степенного ряда.

Остаток ряда Тейлора в форме rn x o x x0 n не дает возможности вычислять значения

функции с заданной точностью, поэтому часто используются другие формы остатка, удобные для приближенных вычислений.

Пусть дана

функция

y f (x) на

промежутке

x0;x0

и существуют непрерывные

производные

f ' x , f '' x ,..., f n 1 x .

r x f x f x

f ' x0

x x

f '' x0

x x

2

0

n

1!

2!

f n x0

x x0 n

n!

Зафиксируем некоторое число x x0;x0

и, заменив постоянную x0

на переменную z , составим вспомогательную функцию

z f x f z

f ' z

x z

f '' z

x

z

2

...

f n z

x z

n

Очевидно, что

1!

2!

n!

x0 rn x , x 0.

Кроме того,

'

f

z

f

z

f

z

2

f

z

''

'

'''

''

z f

z

x z

...

1!

2!

1!

f n 1 z

x z n

n!

непрерывная на промежутке x0;x и такая, что на этом

Пусть x - некоторая функция,

промежутке ' x 0. Тогда по теореме Коши найдется число c x0 ;x такое, что

x x0

' c

.

x x0

' c

0 rn x

f n 1 c

x x0 n

n!

Следовательно,

, откуда:

x x0

' c

rn x		x x0		f	n 1 c	x c n . Различным образом	выбирая функцию x , можно

		' x			n!
получать различные					формы остатка. В частности,		если x x z n 1 , получим
rn x	f n 1 c		x x0 n		- остаток в форме Лагранжа.

	n 1!

Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора

Пользуясь формулой Тейлора с остатком в форме Лагранжа можно вычислять приближенные значения различных функций с заданной точностью

Пример 1: вычислить

e с точностью 0,01

x

n

Решение: поскольку

e

e0,5

и ex

, то

n 0 n!

1 0,5

0,5 2

0,5 3

...

0,5 n

r x . Нужно подобрать число n так, чтобы

e

2!

3!

n!

n

f n 1 c

r x

x x

n

ec

0,5 0 n

ec

0,01

, где c 0;0,5

. Поскольку

n 1!

n

1!

n

0

2n n 1!

функция y ex

возрастающая, то

ec

e0,5

e

4

и

будем

подбирать

n

из

неравенства

2n n 1!

4

0,01.

2n n 1!

n 4получим

4

1

0,5 2

0,5 3

0,5 4

При

0,01, значит,

e 1 0,5

с

24 4 1!

4 120

2

6

24

заданной точностью

e 1,5 0,125 0,02083 0,0026 1,65

Пример 2: Вычислить sin0,1с точностью 0,000001

Решение: sin x x 31!x3 51!x5 ...

sin0,1 0,1 31! 0,1 3 51! 0,1 5 ...

Заметим, что в знакочередующемся ряду остаток ряда по модулю не превосходит его первого слагаемого (этот факт отмечался в доказательстве признака Лейбница сходимости рядов).

1	5	1				1
	0,1						0,000001, поэтому
5!		120 105			12000000
sin0,1 0,1			1	0,1 3		0,1 0,00017 0,09983

		3!

x

Пример 3: вычислить интеграл

0,1sin x

с точностью 0,001.

0

Решение: Поскольку sin x x

1

x3

1

x5 ..., то

sin x

1

x2

1

x4

...

3!

5!

x

3!

5!

0,1sin x

0,1

x2

x4

x3

x5

0,1

0 x

1

3!

5!

... dx

x

18

600

...

0

0,1 0,1 3 0,1 5 ...

18 600

В этом знакочередующемся ряду уже второе слагаемое по модулю меньше, чем 0,001,

поэтому 0,1sin x 0,1

0 x

Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора

Пользуясь формулой Тейлора с остатком в форме Лагранжа можно вычислять приближенные значения различных функций с заданной точностью

Пример 1: вычислить

e с точностью 0,01

x

n

Решение: поскольку

e

e0,5

и ex

, то

n 0 n!

1 0,5

0,5 2

0,5 3

...

0,5 n

r x . Нужно подобрать число n так, чтобы

e

2!

3!

n!

n

f n 1 c

rn x

x x0 n

ec

0,5 0 n

ec

0,01

, где c 0;0,5 . Поскольку

n 1!

n

1!

2n n 1!

функция y ex

возрастающая, то

ec

e0,5

e

4

и

будем

подбирать

n

из

неравенства

2n n 1!

4

0,01.

2n n 1!

При n 4получим

4

1

0,5 2

0,5 3

0,5 4

0,01, значит,

e 1 0,5

с

24 4 1!

4 120

2

6

24

заданной точностью

e 1,5 0,125 0,02083 0,0026 1,65

Пример 2: Вычислить sin0,1с точностью 0,000001

Решение: sin x x 31!x3 51!x5 ...

sin0,1 0,1 31! 0,1 3 51! 0,1 5 ...

Заметим, что в знакочередующемся ряду остаток ряда по модулю не превосходит его первого слагаемого (этот факт отмечался в доказательстве признака Лейбница сходимости рядов).

1	5	1				1
	0,1						0,000001, поэтому
5!		120 105			12000000
sin0,1 0,1			1	0,1 3		0,1 0,00017 0,09983

		3!

x

Пример 3: вычислить интеграл

0,1sin x

с точностью 0,001.

0

Решение: Поскольку sin x x

1

x3

1

x5 ..., то

sin x

1

x2

1

x4

...

3!

5!

x

3!

5!

0,1sin x

0,1

x2

x4

x3

x5

0,1

1

... dx

x

...

0 x

0

3!

5!

18

600

0

0,1 0,1 3 0,1 5 ...

18 600

В этом знакочередующемся ряду уже второе слагаемое по модулю меньше, чем 0,001,

поэтому 0,1sin x 0,1

0 x

Материал: Лекция 2. Функциональные ряды