Документ: Лекция 2. Функциональные ряды, страницы 1-5

Материал: Лекция 2. Функциональные ряды

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А.Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. IV. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 138 с.

Лекция № 2

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Степенные ряды

Рассмотрим

последовательность

функций

f1 x , f2 x ,..., fn x ...и составим из них ряд

x .

f1 x f2 x ... fn x ... fn

n 1

Определение: Ряд

f1 x f2 x ... fn x ... fn x называется функциональным рядом.

n 1

fn x

1

Примеры: 1)

, fn x

...

nx

n 1

x

2x

3x

x x x2 x3 ...

2)

fn x xn , fn

n 1

3)

fn x sinnx , fn x sin x sin2x sin3x ...

n 1

Если в функциональный ряд вместо переменной x подставить какое-либо число, получится сходящийся или расходящийся числовой ряд. Пусть X - множество всех значений переменной

x, при которых ряд fn x сходится. Тогда можно говорить, что на множестве чисел X

n 1

определена функция одной действительной переменной F(x) fn x , значениями которой

n 1

являются суммы соответствующих числовых рядов.

Определение:Множество чисел X , при которых сходится ряд fn x , называется областью

n 1

сходимости этого ряда.

fn x an x x0 n ,

Определение:

Если

где x0 ,an - действительные числа, то ряд

a1 x x0 a2 x x0 2

an x x0 n a0

...

называется степенным рядом.

n 0

x 1 2 x 1 2 3 x 1 3 ...,

Примеры: xn

x x2

x3 ...,

n x 1 n

n 0

x

n

x

2

x

3

1 x

...

n 0

n!

2

6

Теорема Абеля1 (об интервале сходимости) Областью сходимости степенного ряда
	n является открытый, полуоткрытый или замкнутый интервал с концами в точках
an x x0
n 0
x0 R и x0	R, где R некоторое действительное число или .
Доказательство: Рассмотрим сначала ряд

	an xn a0 a1x a2 x2 a3x3 ....
	n 0

Этот ряд обязательно сходится при x 0. Допустим, что этот ряд сходится еще в какой-либо

точке x , тогда по необходимому признаку сходимости, lima

xn 0 и, значит, найдется число

1

n

1

M такое, что

a

xn

M для всех номеров n. Возьмем любое число x

2

такое, что

x

2

x

, и

n 1

1

составим ряд

an x2n

. Поскольку

n 0

x2n

a

n

xn

a

xn

a

xn

M

2

n 1

xn

n 1

xn

1

n

x2

и ряд

x2

, будучи геометрической прогрессией со знаменателем q

1, сходится, то по

n

n 0

x

1

n

теоремео сходимости и арифметических операциях сходится ряд M

x2

. Тогда, по признаку

n

n 0

x1

сравнения

будет

сходиться

ряд

an x2n

. Поскольку

x2

-

произвольное

число,

n 0

удовлетворяющее условию

x2

x1

, то ряд an xn будет сходиться в любой точке интервала

x1,x1 .

n 0

Рассмотрим теперь ряд an x x0 n

и, сделав замену переменной

y x x0 , получим ряд

n 0

который сходится на некотором интервале y y1, y1 . Возвращаясь к переменной

an yn ,

n 0

сходится на интервале x0

y1 . Теорема доказана.

x, получим, что ряд an x x0 n

y1,x0

n 0

Замечание: В частности, интервалом сходимости степенного ряда может оказаться единственная точка x0 или вся числовая прямая.

n можно применять

Для практического нахождения интервала сходимости ряда an x x0

n 0

метод Даламбера, состоящий в следующем: рассматривается предел

lim

a

n 1

x x

0

n 1

x x

lim

a

n 1

.

an

x x0

n

0

an

n

Еслиэтотпределменьше1,топопризнакуДаламбера,рядсходится,еслибольше–расходится.

Решая неравенство	x x	0	lim	an 1	1, находим открытый интервал, в точках которого ряд
				an 1
				a
			n
			n
				n

сходится.Внеэтогоинтервалазаисключением,можетбыть, концовинтервала,рядрасходится.

1 Абель Нильс Хенрик (1802-1829) норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4-ой неразрешимы в радикалах. Один из создателей теории эллиптических функций, автор первой работы по интегральным уравнениям. Труды по теории чисел и рядов.

Для проверки сходимости на концах интервала нужно подставить каждое из этих двух чисел в формулу ряда и, получив числовые ряды, проверить их сходимость.

Пример1: Найти интервал сходимости ряда 1 n 1 xn

n 1 n

Решение: lim

1 n 2 xn 1

n

x

lim

n

n 1

1 n 1 xn

n 1

n

x

lim

n

x

1

x

. Решаем неравенство

x

1:

n n 1

Теперь проверяем сходимость на концах интервала:

x 1;1 .

n 1

1

n

1

2n 1

1

1 . Гармонический ряд расходится.

n 1

n

n 1

n

n 1

n

1

n 1

1

n

n 1

Подставим точку

x2 1:

1

.

Получили знакочередующийся ряд,

n

n 1

удовлетворяющий условиям признака Лейбница:

1

,

lim

1

0. Значит, ряд сходится.

n 1

n

n n

Следовательно, интервалом сходимости данного ряда будет 1;1 .

xn

Пример 2: Найти интервал сходимости ряда

n 0

n!

Решение: lim

xn 1

n!

x

lim

1

x

0 0

n 1!

1

n

xn

n

Полученное неравенство 0 1верно при любых значениях переменной x, т. к. не зависит от этой переменной. Значит, ряд сходится при любых значениях переменной и его интервалом сходимости является ; .

Пример 3: Найти интервал сходимости ряда n!xn .

n 1!xn 1

n 0

Решение: lim

x

lim

n 1

x

.

n!xn

n

При любом значении переменной x 0 предел будет равен . При x 0

получается неопределенность 0 .

Поэтому проверим сходимость непосредственной

подстановкой: n!0n 0 0 0 ... 0. Ряд сходится.

n 0

Значит, данный ряд сходится в единственной точке x 0.

Формула Тейлора2

Рассмотрим производные многочлена p x a

0

a x a

2

x2

... a

n

xn

p' x a

1

2a

2

x 3a

3

x2 ... na

n

xn 1

1

p'' x 2a2

2 3a3x ... n n 1 an xn 2

p''' x 2 3a3x ... n n 1 n 2 an xn 3

…………………………………………………

2 Тейлор Брук (1685-1731) английский математик.

p n x n n 1 n 2 ... 3 2an

При x 0получим:

p 0 a0

0!a0

p' 0 a 1!a

1

p'' 0 2a2

2!a2

p''' 0

2 3a3

3!a3

……………………….

p 0

p(n)

n n 1 ... 3 2an n!an

Значит,

a

,

a

p' 0

,

a

p

'' 0

,…., a

p n 0

,

0

0!

1!

2!

n!

1

2

n

p x

p 0

p' 0

x

p'' 0

x2

...

p n 0

xn

n

p i 0

xi

0!

1!

2!

n!

i 1

i!

Если в этой формуле заменить x на x x0 , получим общую формулу

p x

p x0

p' x0

x x0

p'' x0

x x0

2 ...

2!

0!

1!

,

p n x0

n

p i x0

n

i

x x0

n!

i!

i 1

называемую формулой Тейлора для многочлена.

Пусть

f x

-

произвольная

функция,

имеющая в точке

x0

производные

f ' x0 , f '' x0 ,...,

f n x0 . Сопоставим этой функции многочлен

pn x

f x0

f ' x0

x x0

f '' x0

x x0 2 ...

0!

1!

f n x

i x

2!

0

n

f

0

i

x

x0

x

x0

n!

i!

i 1

Теорема (о порядке приближения функции многочленом) Пусть

f x

-

произвольная

функция,

имеющая

в

точке

x0

производные

f ' x0 , f '' x0 ,..., f n

x0

, и пусть

pn x n f i i!x0 x x0 i , тогда

i 1

f x pn x o x x0 n

Доказательство: обозначим rn x f x pn x . Из определения многочлена	pn x следует,
что

r

x

0

r' x

0

r'' x

0

... r n x

0

n

r1 x r x0

При n 1 получим:

lim

r1 x

lim

r1 x 0

lim

r1' x0 0 .

x x0

При n 2 получим:

lim

r2 x

lim

r2' x

1

lim

r2' x r2' x0

1

r'' x

0,

здесь

воспользовались

x x0 2

2 x x0

x x0

x

x0

2 x x0

x x0

2

0

правилом Лопиталя. При n 3 получим:

lim

x x0

16

r x

lim

r'

x

1

r'' x

3

lim

3

x x0

3

3 x x0 2

2 x x0

x x0

3 x x0

lim

r3'' x r3'' x0

1

r''' x

0

x x0

6

3

здесь дважды воспользовались правилом Лопиталя.	rk x
В общем случае для доказательства равенства lim		0	нужно будет n 1раз
	x x0 k
x x0

воспользоваться правилом Лопиталя. Теорема доказана.

Замечание: из доказанной теоремы следует, что формулу Тейлора можно использовать для вычислений приближенных значений дифференцируемых функций:

f x

0

f

' x

0

f ''

x

0

2

f n x

0

n

f i x

0

i

f x

x x0

...

x x0

x x0 ,

0!

1!

2!

n!

i!

i 1

причем, чем больше число n ,

тем приближение лучше. Данная приближенная формула

называется формулой Тейлора. При x0

0 ее также называют формулой Маклорена3.

Пример:

Рассмотрим

функцию

f x cosx

и составим

для нее

формулы

Тейлора при

n 0,1,2,3,4 и x0

0.

f ' x sin x; f '' x cosx; f ''' x sin x; f 4 x cosx f ' 0 0; f '' 0 1; f ''' 0 0; f 4 0 1.

p0 x f (0) 1

p x f (0) f ' 0 x 1 0 x 1

p

2

x f (0) f '

0 x

1

p3

x f (0) f ' 0 x

f '' 0

x2

f ''' 0

x3

1

x2

2

6

2

p4

x f (0) f ' 0 x

f '' 0

x2

f ''' 0

x3

f

4 0

x4 1

x2

24

2

6

2

f '' 0 x2 1 x2

2 2

x4

24

Каждый следующиймногочлен четной степенивселучше и лучше будетприближатьфункцию f x cos x на все большем и большем интервале.

Ряд Тейлора

Пусть функция f x имеетнапромежутке x x0 ,x x0 производныелюбыхпорядков.Тогда,

в связи с тем, что формула Тейлора при увеличении степени n все лучше и лучше приближает функцию, естественно считать

3 Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик. Труды по математическому анализу, теории кривых, механике.

Подставим x1 1 в ряд