Материал: Лабораторна робота №6

Таблиця 2 - Прапорці, які визначають властивості матриці СЛАР

2.3 Розв’язування СЛАР методом оберненої матриці

Для того щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом оберненої матриці, необхідно виконати наступні дії:

1.Сформувати матрицю коефіцієнтів і вектор вільних членів заданої системи;

2.Розв’язати систему, задавши вектор невідомих як добуток матриці, оберненої до матриці системи, і вектора вільних членів.

Для обернення матриці призначена функція inv.

Приклад 10

Розглянемо ту саму СЛАР. Її розв’язок знаходимо множенням оберненої матриці на вектор вільних членів:

>> х=inv(A)*b

Відповідь:

х=

0.8246

0.2619

0.0728

0.9638

0.5653

Перевірка розв’язку. Підставимо знайдені корені в рівняння системи(це рівнозначно множенню матриці А на вектор. Введемох вектор С– результат підстановки.

>> C=A*х

Відповідь

С = 6.54 3.21 3.93 6.25 5.30

Можемо переконатися, що значення вектора С = b початкової СЛАР: b = [6.54; 3.21;3.93;6.25;5.3]

Якщо матриця близька до виродженої, то видається відповідне діагностичне повідомлення.

6

2.4 Розв’язування СЛАР методом Гауса

Розв’язування СЛАР за допомогоюметоду Гауса ґрунтується на тому, що від заданої системи, переходять до еквівалентної системи, яка розв'язується простіше, ніж початкова.

Метод Гауса складається з двох етапів:

Перший етап - це прямий хід, в результаті якого розширена матриця системи шляхом елементарних перетворень(перестановка рівнянь системи, множення рівнянь на число, відмінне від нуля, і складання рівнянь) приводиться до трикутного вигляду.

На другому етапі(зворотний хід) трикутну матрицю перетворюють таким чином, щоб в першихn стовпцях вийшла одинична матриця. Останній, n +1 стовпець цієї матриці містить розв’язок системи лінійних рівнянь.

Розглянемо як розв’язати цю задачу в MATLAB:

1.Сформувати матрицю коефіцієнтів А і вектор вільних членів b заданої системи;

2.Сформувати розширену матрицю системи, об'єднавши А і b;

3.Привести розширену матрицю до трикутного вигляду, використовуючи функцію rref;

4.Знайти розв’язок системи, виділивши останній стовпець матриці, отриманої в попередньому пункті;

5.Виконати обчислення; якщо в результаті вийшов нульовий вектор, задача вирішена вірно.

Приклад 11

Скористаємося тим самим прикладом системи, що і раніше. Матриця А і вектор b в нас вже сформовані і мають вигляд:

A= [5.38 1.12 0.95 1.32 0.83 1.12 4.08 2.12 0.57 0.91 0.95 2.12 6.33 1.29 1.57 1.32 0.57 1.29 4.37 1.25 0.83 0.91 1.57 1.25 5.41];

b = [6.54; 3.21;3.93;6.25;5.3];

Сформуємо розширену матрицю С і приведемо її до трикутного вигляду. Для приведення матриці до трикутного вигляду призначена функціяrref, а позначення [A,b] означає побудову розширеної матриці:

C=rref([A,b]);

Виділимо останній стовпець з матриці. Оскільки розширена матриця має розмір 6х5, то останній стовпець – це вектор 1:5, 6:6

>> х=C(1:5,6:6)

х=

0.82456140350877

0.26186291739895

0.07277628032345

0.96380090497738

0.56530612244898

7

Зручно записати виконані дії у файл-програму і викликати з Вікна команд за іменем файла.

2.4 Схема LU – розкладання матриць

Як видно з попереднього прикладу, розв’язування СЛАР спрощується, якщо привести матрицю А до трикутного вигляду. Тепер введемо поняття «розкладання» матриці на добуток нижньої трикутної матриці і верхньої трикутної матриці.

Визначимо нижню трикутну матрицюL з одиничною головною діагоналлю таким чином, щоб вище діагоналі були розташовані нульові елементи, а нижче діагоналі – ненульові елементи, значення яких отримані при приведенні матриці.

Визначимо верхню трикутну матрицюU на головній діагоналі якої розміщені ненульові і не одиничні елементи, а нижче діагоналі – нульові елементи.

Має місце наступне визначення:

Визначення 1:

Невироджену матрицю А можна розкласти на трикутні матриці, якщо її можна представити як добуток нижньої трикутної матриці і верхньої трикутної матриці.

Представлення матриці А у вигляді A=LU називається LU – розкладанням. Розв’язування початкової СЛАР, заданою матрицею коефіцієнтівА еквівалентно розв’язанню двох систем з трикутними матрицями:

L g = b

U x = g

>> g=L\b

8

g=

6.5400

1.8485

1.8515

4.1798

2.6902 >> х=U\g

х=

0.8246

0.2619

0.0728

0.9638

0.5653

Перевіримо знайдений розв’язок підстановкою х в СЛАР. ans =

6.5400

3.2100

3.9300

6.2500

5.3000

Всі розглянуті методи розв’язування СЛАР вMATLAB відносяться до прямих методів і призначені для вирішення добре визначених СЛАР. В інших випадках слід застосовувати ітераційні методи.

Завдання і порядок виконання самостійної роботи

1.Ввести значення елементів матриці і вектора в MATLAB.

2.Знайти визначник матриці. Якщо він = 0, то матриця вироджена.

3.Якщо визначник не рівний 0, розв’язати систему з використанням оператора / .

4.За зовнішнім виглядом матриці визначити її властивості(по таблиці 2). Якщо жодна з властивостей не виконується, розв’язати систему за допомогою функції linsolve з двома аргументами, інакше – третім аргументом вказати потрібну властивість за допомогою структури options.

5.Розв’язати систему методами зворотної матриці і Гауса.

6.Виконати LU-розкладання матриці і знайти розв’язок СЛАР цим методом.

7.Результати подати в звіті з точністю eps=0.0001.

9

10