Материал: Laboratornaya_rabota_5_-_vypolnenie_2_semestr
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
Решение нелинейного уравнения с одной неизвестной.
1.Шаговый метод.
Постановка задачи. Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на промежутке [2,2;3,5] найти интервал изоляции корня с шагом h=0,15
Ручной счет
x |
f(x) |
f(xi)*f(xi+1) |
x0=2,2 |
x02 – 5* x0+6=2,22 -5*2,2+6=-0,160 |
|
x1= x0+h=2,2+0,15=2,35 |
x12 – 5* x1+6=2,352 -5*2,35+6= - 0,228 |
f(x0)*f(x1)= |
|
|
(-0,160)*(-0,228)>0 |
|
|
|
x2= x1+h=2,35+0,15=2,5 |
x22 – 5* x2+6=2,52 -5*2,5+6= - 0,250 |
f(x1)*f(x2)= |
|
|
(-0,228)*( - 0,250)>0 |
|
|
|
x3= x2+h=2,5+0,15=2,65 |
x32 – 5* x3+6=2,652 -5*2,65+6= - 0,228 |
f(x2)*f(x3)= |
|
|
(- 0,250)*(-0,228)>0 |
|
|
|
x4= x3+h=2,65+0,15=2,8 |
x42 – 5* x4+6=2,82 -5*2,8+6= - 0,160 |
f(x3)*f(x4)= |
|
|
(-0,228)*(-0,160)>0 |
|
|
|
x5= x4+h=2,8+0,15=2,95 |
x52 – 5* x5+6=2,952 -5*2,95+6= - 0,047 |
f(x4)*f(x5)= |
|
|
(-0,160)*(-0,047)>0 |
|
|
|
x6= x5+h=2,95+0,15=3,1 |
x62 – 5* x6+6=3,12 -5*3,1+6=0,110 |
f(x5)*f(x6)= |
|
|
( - 0,047)*0,110<0 |
|
|
[x5 ;x6 ] =[2,95;3,1] |
|
|
интервал изоляции |
|
|
корня |
x7= x6+h=3,1+0,15=3,25 |
x72 – 5* x7+6=3,252 -5*3,25+6= 0,313 |
f(x6)*f(x7)= |
|
|
(0,110)*(0,313)>0 |
|
|
|
x8= x7+h=3,25+0,15=3,4 |
x82 – 5* x8+6=3,42 -5*3,4+6= 0,560 |
f(x7)*f(x8) |
|
|
(0,313)*(0,560)>0 |
|
|
|
Вывод: в точке х5=2,95 значение функции f(x5)<0, в точке х6=3,1 значение функции f(x6)>0, то есть функция меняет знак на отрезке [2,95; 3,1]. Следовательно, найден интервал изоляции корня, содержащий корень.
0,56
0,313
0,110
2,2 |
2,35 |
2,5 |
2,65 |
2,8 |
2,95 |
3,1 |
3,25 |
3,4 |
-0,047
-0,160
-0,228 -0,250
Рисунок шагового метода
Реализация в программе MSExcel
Результат реализации в программе MSExcel
Реализация в программе Mcad
2. Метод половинного деления
Постановка задачи: Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на интервале изоляции корня [2,95;3,1] найти приближенный корень с точностью 0,01.
Ручной счет: Обозначим левую границу интервала изоляции a=2,950, а правую b=3,100. Делим интервал изоляции корня пополам, т.е. находим среднюю точку хс
3
xc |
a b |
|
2,950 3,100 |
3,025 . |
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=3,0252-5*3,025+6=0,026
Проверяем |f(xc)|<0,01 |0,026|<0,01 нет, это значит что значение x= 3,025 нельзя считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.
Поэтому необходимо выбрать одну из половин интервала [2,950;3,025] и [3,025;3,100] для дальнейшего расчета.
f(a)=f(2,950)= - 0,047 f(xc)=f(3,025)=0,026 f(b)=f(3,100)=0,110
Для выбора одной из половин интервала проверяем условие f(a)*f(xc)<0 (-0,047)*0,026<0 да,
Произведение отрицательно, следовательно, на левом половине интервала есть корень.
Делаем следующий шаг. Теперь a=2,950 b=3,025
На интервале [2,950;3,025] находим среднюю точку хс
xc |
a b |
|
2,950 3,025 |
2,988. |
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=2,9882-5*2,988+6=-0,012
Проверяем |f(xc)|<0,01 |-0,012|<0,01 нет, это значит что значение x= 2,988 нельзя считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.
Поэтому необходимо выбрать одну из половин интервала [2,950;2,988] и [2,988;3,025] для дальнейшего расчета.
f(a)=f(2,950)= - 0,047 f(xc)=f(2,988)= - 0,012 f(b)=f(3,025)=0,026
Для выбора одной из половин интервала проверяем условие f(a)*f(xc)<0 (-0,047)*(-0,012)<0 нет,
Произведение положительно, следовательно, на левом половине интервала нет корня, он на правой половине.
Делаем следующий шаг. Теперь a=2,988 b=3,025
На интервале [2,988;3,025] находим среднюю точку хс
xc |
a b |
|
2,988 3,025 |
3,006 . |
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=3,0062-5*3,006+6=0,006
Проверяем |f(xc)|<0,01 |0,006|<0,01 да, это значит что значение x= 3,006 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.
Вывод: x= 3,006 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01, т.к. |f(3,006)|<0,01 |0,006|<0,01
|
0,110 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
0,026 |
2,95 |
2,988 |
|
||
0,006 |
|
||||
|
|
|
|||
-0,012 |
|
3,006 3,025 |
3,100 |
||
-0,047 |
|
||||
Рисунок метода половинного деления
Реализация в программе MSExcel
Результат реализации в программе MSExcel
Реализация в программе Mcad
5