Лабораторная работа: Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРЕГТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИК

Дисциплина:

«Теория массового обслуживания»

Лабораторная работа «Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием»

Выполнила: студентка гр. ПМ-1-16

Розенфельд В.Н.

Казань, 2019

Пусть входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями l и m, соответственно. СМО имеет C каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/m.

В стационарном режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

, при C > n >=1,

, при n>=C.

Пусть .

При условии решение системы уравнений имеет вид: , P_n при 0<=n<C, P_n при n>=C.

Здесь P_n есть вероятность того, что в СМО n клиентов находится на обслуживании. Среднее число клиентов в очереди на обслуживание определяется следующей формулой:

Среднее число находящихся в СМО клиентов (на обслуживании и в очереди):

Средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Средняя продолжительность пребывания клиента в СМО:

Задача 1. Механическая мастерская завода с тремя постами выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, пуассоновский и имеет интенсивность l = 2.5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно 0.5 сут.

1) Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь перед мастерской может расти практически неограниченно. Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: многоканальный система массовый обслуживание

· вероятности состояний системы;

· среднее число заявок в очереди на обслуживание;

· среднее число находящихся в системе заявок;

· среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

· среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение.

Так как то каждая заявка будет рано или поздно обслужена: Р_отк=0, q=1, A=лq=л.

1. Определим параметр потока обслуживаний

2. Приведенная интенсивность потока заявок: = / = 2,5 / 2 = 1,25, при этом / (n) = 2,5 / (23) = 0,41.

Поскольку /(n)<1, то очередь не растет безгранично, и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

P_от.оч = P₀ + P₁ + P₂ + P₃ 0,285 + 0,356 + 0,223 + 0,092 = 0,987.

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание при

.

6. Среднее число находящихся в системе заявок:

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание: =0,113/2,5=0,0452 суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (системе): =0,0452+0,5=0,5452 суток.

2) Составим процедуру статистического моделирования мастерской завода в предположении, что длина очереди составляет 4 места. Интенсивность поступления заявок 2,5 механизма в сутки = 5/48 механизма в час, а среднее время ремонта одного механизма составляет 0,5 сутки = 12 часов.

Проведем испытание в течение 1000 часов.

Блок-схема для программы на C#:

Листинг программы на языке С#:

using System;

namespace ConsoleApplication1

{ class Program

{ static void Main(string[] args)

{ double t1 = 12;

double lambda = 2.5;

double mu1 = 4;

Console.WriteLine("Средняя продолжительность обслуживания: " + t1);

Console.WriteLine("Интенсивность потока: " +lambda);

Console.WriteLine("Длина очереди: " + mu1);

proc(1000);//продолжительность работы СМО в минутах

Console.ReadKey();}

static void proc(int k)

{ int t_okon1 = 0;

int post1 = 0;

int obsl1 = 0;

int otk1 = 0;

Random random = new Random();

for (int i = 0; i < k; i++)

{ int rn_post1 = random.Next(0, 60);

if (rn_post1 == 1 && t_okon1 == 0)

{ post1++;

t_okon1 = poisson(108);

obsl1++; }

if (rn_post1 == 1 && t_okon1 == 0)

{ post1++;

t_okon1--;

otk1--; }

if (rn_post1 > 1 && t_okon1 > 0)

{ t_okon1--; } }

Console.WriteLine("Поступило на обслуживание механихмов: " + post1);

Console.WriteLine("Из них обслужено: " + obsl1);

Console.WriteLine("Отказов в обслуживании: " + otk1);

Console.WriteLine("Затрачено часов на обслуживание: " + obsl1*12);

}

static int poisson(int mean)

{ var L = Math.Exp(-mean);

double p = 1;

var k = 0;

do

{ k++;

p *= new Random().NextDouble();

} while (p > L);

return k - 1;}}}

Результат работы программы:

2) Уменьшите длину очереди до 2-х мест, интенсивность поступления заявок увеличьте до 10 механизмов в сутки и повторите испытание 20 раз при длительности работы СМО в 1000 часов.

Меняем double mu1 = 4; на double mu1 = 2;

Меняем double lambda = 2.5; на double lambda = 10;

Повторяем 20 раз и получаем следующие результаты:

Следовательно, при увеличении интенсивности потока и сокращении длины очереди увеличилось суммарное количество времени, затраченное на обслуживание.

3) Вычислите оценки относительной и абсолютной пропускной способности СМО, среднюю продолжительность пребывания заявки в системе (в очереди), среднее число заявок в системе (в очереди).

Относительная пропускная способность: Q = p_обс = 1

Абсолютная пропускная способность в данном случае: A = л = 10

Среднее время пребывания заявки в СМО:

Вероятность образования очереди: = 0.694

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок в системе:

Задача 2. Система массового обслуживания - билетная касса с тремя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 человек за 20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 минут. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

Решение.

Имеем систему массового обслуживания с тремя каналами (3 кассы) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна =5 пассажиров за 20 мин =15 пассажиров в час, то есть 15.

Интенсивность потока обслуживания равна 3 пассажира за 10 минут = 18 пассажиров за час, то есть =18.

Нагрузка системы

Вычислим финальные вероятности:

Вероятность простоя системы:

P₁ =

P₂ =

P₃ =

Среднее число пассажиров, находящихся в очереди:

Среднее время ожидания в очереди : 0,161:15=0,0110,66 мин

Среднее время обслуживания:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время пребывания заявки в системе: =3,33+0,5=3,83 (мин)