Материал: Инструкция к № 4(проверка гипотез)

ИНСТРУКЦИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ № 4

СТАТИСТИЧЕСКАЯ Проверка

СТАТИСТИЧЕСКИХ гипотез

Введение

1.Статистической гипотезой называется гипотеза (предположение)

о виде закона распределения или о параметрах распределения.

В задаче № 4 проверяются гипотезы о параметрах распределения. Гипотезы о виде закона распределения проверяются в задачах № 5,6,7.

Выдвигаемая гипотеза , которую предстоит проверять , называется нулевой гипотезой и обозначается H ₀ .

Гипотеза , которая противоречит H ₀ , называется альтернативной или конкурирующей и обозначается H ₁.

Источником информации при проверке любой гипотезы является только выборка { x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . , x _n } и больше ничего. Схема такой проверки состоит в следующем : по значениям x _i подсчитывается некоторое число K, которое называется критерием и по величине этого числа судят от том, принимать эту гипотезу или не принимать . Так как числа x _i случайны, то и критерий K - тоже случайная величина .

При некоторых значениях критерия гипотезу принимают, при некоторых отвергают. Все значения K, при которых гипотезу принимают, образуют область принятия гипотезы. Все значения K, при которых гипотезу не принимают, образуют критическую область. Точки, отделяющие одну область от другой - это критические точки K _кр .

В зависимости от решаемой задачи критическая область может быть двусторонней, правосторонней или левосторонней. В соответствии с этим критических точек может быть две или одна .

Проверяется любая гипотеза по вошедшим в выборку случайным значениям x _i . При этом возможны ошибки.

Если гипотеза H ₀ верна, а мы ее отвергли, так как подсчитанное по выборке значение критерия (его называют K_{наблюдаемое} ) попало в критическую область, то это ошибка первого рода. Вероятность ее обозначается  и называется уровень значимости. Желательно, чтобы она была как можно меньше .

Если гипотеза H ₀ неверна, а мы ее приняли, так как K_{наблюдаемое} попало в область принятия гипотезы, то это ошибка второго рода. Вероятность ее обозначается  .

Если известен закон распределения случайной величины K, то по известным правилам можно подсчитать вероятность ее попадания в любую область, в том числе и в критическую область . Приравнивая эту вероятность заданному числу , можно установить связь между  и K _кр . Для каждого рассматриваемого здесь критерия существуют таблицы, по которым можно найти K _кр по заданному  . Обычно задают уровень значимости  равным 0,01; 0,05; или 0,1.

_2.Порядок действий по проверке любой гипотезы :

1. Выбирается критерий, соответствующий данной задаче.

2. По выборке подсчитывается наблюдаемое значение критерия

Kнаблюдаемое;

3. По соответствующим таблицам находим критическое значение критерия K _кр , характеризующее критическую область;

4. Если K_{наблюдаемое} попало в критическую область, гипотезу отвергаем, если нет - гипотезу H ₀ принимаем.

Дальше перечислены некоторые часто встречающиеся гипотезы и записаны критерии, по которым их нужно проверять.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных распределений:

Проведены опыты над двумя случайными величинами X и y.

Для каждой из них получены выборки :

для X { x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . . , x _n } объемом n _x

и для Y { y ₁ , y ₂ , y ₃ , . . . . , y _m } объемом n _y .

По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии , служащие нам для оценки теоретической дисперсии. Они отличаются друг от друга, но не очень значительно. Выдвигается гипотеза о том, что на самом деле дисперсии D _x и D _y равны друг другу, а различие между вызвано случайностью, оно как говорят в статистике, «незначимо». Т.е., проверяется гипотеза о равенстве дисперсий :

ъ

Порядок проверки гипотезы :

1) Подсчитываем Fнаблюдаемое по найденным по выборке .

2. По таблицам критических точек распределения Фишера находим :

F_кр = F(  ; k ₁ ; k ₂ ).

k ₁ = n _{большее} -1 - число степеней свободы большей дисперсии.

k ₂ = n _{меньшее} -1 - число степеней свободы меньшей дисперсии.

( N большее - объем той выборки, у которой дисперсия s 2 больше )

3. Если F_набл< F_кр то гипотезу о равенстве дисперсий можно принимать,

(различие между незначимо, оно может быть объяснено случайностью );

Если F_набл> F_кр то гипотезу о равенстве дисперсий принимать нельзя, (различие между слишком значительно, чтобы его можно было объяснить случайными причинами) .

Гипотеза о равенстве дисперсии предполагаемому значению:

Предполагается, что истинное значение дисперсии нормальной случайной величины X равно D ₀. Для проверки получена выборка объемом n _x и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия , служащая для оценки теоретической дисперсии. Величина отличается от D ₀ . Требуется проверить, значимо это отличие или же оно вызвано случайностью.

Порядок проверки гипотезы :

1) Подсчитываем 2наблюдаемое по найденному по выборке .

2. По таблицам критических точек распределения 2 находим :

² _кр = ² _кр(  ; k ).

k - число степеней свободы; k = n - 1;

3. Если ²_набл < ²_кр то гипотезу можно принимать,

(различие между незначимо, оно может быть объяснено случайностью );

Если ²_набл> ²_кр то гипотезу принимать нельзя,

(различие между слишком значительно) .

Второй случай альтернативной гипотезы:

При такой альтернативной гипотезе критическая область двусторонняя. Нужно искать по таблицам две критические точки : левую и правую.

( ² _кр )^лев = ² _кр( 1-/2 ; k ). ( ² _кр )^прав = ² _кр( /2 ; k ).

Если наблюдаемое значение критерия лежит между критическими точками , т.е. ( ² _кр )^лев < ²_набл <( ² _кр )^прав , то гипотезу можно принимать.

Если ²_набл выходит за эти пределы, т.е. ²_набл < ( ² _кр )^лев или ²_набл >( ² _кр )^прав , то гипотезу нужно отвергать .