Материал: 05

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

равна сумме ряда из производных. Почленное дифференцирование можно применить повторно к ряду из производных первого порядка, второго и т.д. Значит, сумма степенного ряда имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков.

Замечание. При почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда интервал сходимости сохраняется. Сходимость на концах интервала может появляться или исчезать.

			x	n
Пример 4. Найти сумму ряда	( 1)	n 1	x		.
		n 1
			n

n 1
n 1			1, 1
Данный ряд сходится на промежутке			1, 1			. Обозначим
Данный ряд сходится на промежутке						. Обозначим

применим теорему о почленном дифференцировании:

S(x)

его сумму и

S (x)

( 1)

n 1

( 1)

n 1

n 0

1 x

Полученный

в результате почленного

дифференцирования степенной

является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале

(

ряд

1,1)

Учитывая, что

S (0)

, найдем

S (x) ln(1


Пример 5. Найти сумму ряда	(n 1) x		n	.
	(n 1) x

n 0
Данный ряд сходится на интервале		( 1,1)			. Обозначим
Данный ряд сходится на интервале					. Обозначим

применим теорему о почленном интегрировании:

S(x)

его сумму и

S (x)dx

n 1

n 0

n 1

Полученный

результате

почленного интегрирования степенной

ряд

является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале

( 1,1)

S (x)

2 .

1 x

(1 x)

Смотрите также:

Кластерная система как одна из форм диверсификации экономики на примере АБФК
Электронно-лучевой синтез интерференционных покрытий оптического назначения